Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90119 / 24734
↖ ↑ ↗
← N 73.899634°
E 67.519226°		 ← 84.70 m → N 73.899634°
E 67.521973°		 →
↑
84.67 m
↓
↑
84.67 m
↓
N 73.898873°
E 67.519226°		 ← 84.70 m →
7 172 m²		 N 73.898873°
E 67.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687557220458984 y=0.188709259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687557220458984 × 217)
    floor (0.687557220458984 × 131072)
    floor (90119.5)     		tx = 90119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188709259033203 × 217)
    floor (0.188709259033203 × 131072)
    floor (24734.5)     		ty = 24734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90119 / 24734 ti = "17/90119/24734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90119/24734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90119 ÷ 217
    90119 ÷ 131072     		x = 0.687553405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24734 ÷ 217
    24734 ÷ 131072     		y = 0.188705444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687553405761719 × 2 - 1) × π
    0.375106811523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.17843280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188705444335938 × 2 - 1) × π
    0.622589111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95592137829753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17843280} λ = 1.17843280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95592137829753))-π/2
    2×atan(7.0704305647208)-π/2
    2×1.43029412889525-π/2
    2.8605882577905-1.57079632675     		φ = 1.28979193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17843280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.519226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28979193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.899634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90119 KachelY 24734 1.17843280 1.28979193 67.519226 73.899634
    Oben rechts KachelX + 1 90120 KachelY 24734 1.17848074 1.28979193 67.521973 73.899634
    Unten links KachelX 90119 KachelY + 1 24735 1.17843280 1.28977864 67.519226 73.898873
    Unten rechts KachelX + 1 90120 KachelY + 1 24735 1.17848074 1.28977864 67.521973 73.898873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28979193-1.28977864) × R
    1.32900000000546e-05 × 6371000     		dl = 84.6705900003482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28979193-1.28977864) × R
    1.32900000000546e-05 × 6371000     		dr = 84.6705900003482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17843280-1.17848074) × cos(1.28979193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.27732079000821 × 6371000     		do = 84.7009075055867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17843280-1.17848074) × cos(1.28977864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.277333558715137 × 6371000     		du = 84.7048073973487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28979193)-sin(1.28977864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27732079000821-0.277333558715137)×R²
    abs(1.17848074-1.17843280)×1.27687069271798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27687069271798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27687069271798e-05×40589641000000     		ar = 7171.84091525823m²