Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90112 / 24654
↖ ↑ ↗
← N 73.960457°
E 67.500000°		 ← 84.37 m → N 73.960457°
E 67.502746°		 →
↑
84.42 m
↓
↑
84.42 m
↓
N 73.959698°
E 67.500000°		 ← 84.38 m →
7 122 m²		 N 73.959698°
E 67.502746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687503814697266 y=0.188098907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687503814697266 × 217)
    floor (0.687503814697266 × 131072)
    floor (90112.5)     		tx = 90112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188098907470703 × 217)
    floor (0.188098907470703 × 131072)
    floor (24654.5)     		ty = 24654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90112 / 24654 ti = "17/90112/24654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90112/24654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90112 ÷ 217
    90112 ÷ 131072     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24654 ÷ 217
    24654 ÷ 131072     		y = 0.188095092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188095092773438 × 2 - 1) × π
    0.623809814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95975633026714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95975633026714))-π/2
    2×atan(7.09759738477109)-π/2
    2×1.43082490631388-π/2
    2.86164981262776-1.57079632675     		φ = 1.29085349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29085349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.960457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90112 KachelY 24654 1.17809725 1.29085349 67.500000 73.960457
    Oben rechts KachelX + 1 90113 KachelY 24654 1.17814518 1.29085349 67.502746 73.960457
    Unten links KachelX 90112 KachelY + 1 24655 1.17809725 1.29084024 67.500000 73.959698
    Unten rechts KachelX + 1 90113 KachelY + 1 24655 1.17814518 1.29084024 67.502746 73.959698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29085349-1.29084024) × R
    1.32499999998537e-05 × 6371000     		dl = 84.4157499990676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29085349-1.29084024) × R
    1.32499999998537e-05 × 6371000     		dr = 84.4157499990676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17814518) × cos(1.29085349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276300711103494 × 6371000     		do = 84.371746033058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17814518) × cos(1.29084024) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276313445273091 × 6371000     		du = 84.3756345649366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29085349)-sin(1.29084024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276300711103494-0.276313445273091)×R²
    abs(1.17814518-1.17809725)×1.27341695974614e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27341695974614e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27341695974614e-05×40589641000000     		ar = 7122.46834690758m²