Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9011 / 26243
↖ ↑ ↗
← S 72.825809°
W 81.002197°		 ← 360.70 m → S 72.825809°
W 80.991211°		 →
↑
360.66 m
↓
↑
360.66 m
↓
S 72.829052°
W 81.002197°		 ← 360.64 m →
130 080 m²		 S 72.829052°
W 80.991211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275009155273438 y=0.800888061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275009155273438 × 215)
    floor (0.275009155273438 × 32768)
    floor (9011.5)     		tx = 9011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800888061523438 × 215)
    floor (0.800888061523438 × 32768)
    floor (26243.5)     		ty = 26243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9011 / 26243 ti = "15/9011/26243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9011/26243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9011 ÷ 215
    9011 ÷ 32768     		x = 0.274993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26243 ÷ 215
    26243 ÷ 32768     		y = 0.800872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.45001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41375504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.60174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89043957341653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41375504} λ = -1.41375504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89043957341653))-π/2
    2×atan(0.151005416278489)-π/2
    2×0.14987309448849-π/2
    0.29974618897698-1.57079632675     		φ = -1.27105014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41375504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.002197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27105014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.825809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9011 KachelY 26243 -1.41375504 -1.27105014 -81.002197 -72.825809
    Oben rechts KachelX + 1 9012 KachelY 26243 -1.41356330 -1.27105014 -80.991211 -72.825809
    Unten links KachelX 9011 KachelY + 1 26244 -1.41375504 -1.27110675 -81.002197 -72.829052
    Unten rechts KachelX + 1 9012 KachelY + 1 26244 -1.41356330 -1.27110675 -80.991211 -72.829052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27105014--1.27110675) × R
    5.66099999999015e-05 × 6371000     		dl = 360.662309999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27105014--1.27110675) × R
    5.66099999999015e-05 × 6371000     		dr = 360.662309999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41375504--1.41356330) × cos(-1.27105014) × R
    0.000191739999999996 × 0.295277720128811 × 6371000     		do = 360.704040416313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41375504--1.41356330) × cos(-1.27110675) × R
    0.000191739999999996 × 0.295223633812653 × 6371000     		du = 360.637969895446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27105014)-sin(-1.27110675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295277720128811-0.295223633812653)×R²
    abs(-1.41356330--1.41375504)×5.40863161578309e-05×R²
    0.000191739999999996×5.40863161578309e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.40863161578309e-05×40589641000000     		ar = 130080.437904637m²