Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90108 / 24667
↖ ↑ ↗
← N 73.950588°
E 67.489014°		 ← 84.42 m → N 73.950588°
E 67.491760°		 →
↑
84.42 m
↓
↑
84.42 m
↓
N 73.949829°
E 67.489014°		 ← 84.43 m →
7 127 m²		 N 73.949829°
E 67.491760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687473297119141 y=0.188198089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687473297119141 × 217)
    floor (0.687473297119141 × 131072)
    floor (90108.5)     		tx = 90108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188198089599609 × 217)
    floor (0.188198089599609 × 131072)
    floor (24667.5)     		ty = 24667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90108 / 24667 ti = "17/90108/24667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90108/24667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90108 ÷ 217
    90108 ÷ 131072     		x = 0.687469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24667 ÷ 217
    24667 ÷ 131072     		y = 0.188194274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687469482421875 × 2 - 1) × π
    0.37493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17790550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188194274902344 × 2 - 1) × π
    0.623611450195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.95913315057207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17790550} λ = 1.17790550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95913315057207))-π/2
    2×atan(7.09317568409732)-π/2
    2×1.4307387880302-π/2
    2.86147757606041-1.57079632675     		φ = 1.29068125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17790550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.489014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29068125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.950588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90108 KachelY 24667 1.17790550 1.29068125 67.489014 73.950588
    Oben rechts KachelX + 1 90109 KachelY 24667 1.17795343 1.29068125 67.491760 73.950588
    Unten links KachelX 90108 KachelY + 1 24668 1.17790550 1.29066800 67.489014 73.949829
    Unten rechts KachelX + 1 90109 KachelY + 1 24668 1.17795343 1.29066800 67.491760 73.949829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29068125-1.29066800) × R
    1.32500000000757e-05 × 6371000     		dl = 84.4157500004823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29068125-1.29066800) × R
    1.32500000000757e-05 × 6371000     		dr = 84.4157500004823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17790550-1.17795343) × cos(1.29068125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276466241913585 × 6371000     		do = 84.4222928572552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17790550-1.17795343) × cos(1.29066800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276478975452412 × 6371000     		du = 84.4261811965202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29068125)-sin(1.29066800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276466241913585-0.276478975452412)×R²
    abs(1.17795343-1.17790550)×1.27335388263039e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27335388263039e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27335388263039e-05×40589641000000     		ar = 7126.73528696732m²