Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90107 / 24668
↖ ↑ ↗
← N 73.949829°
E 67.486267°		 ← 84.44 m → N 73.949829°
E 67.489014°		 →
↑
84.48 m
↓
↑
84.48 m
↓
N 73.949069°
E 67.486267°		 ← 84.45 m →
7 134 m²		 N 73.949069°
E 67.489014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687465667724609 y=0.188205718994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687465667724609 × 217)
    floor (0.687465667724609 × 131072)
    floor (90107.5)     		tx = 90107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188205718994141 × 217)
    floor (0.188205718994141 × 131072)
    floor (24668.5)     		ty = 24668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90107 / 24668 ti = "17/90107/24668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90107/24668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90107 ÷ 217
    90107 ÷ 131072     		x = 0.687461853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24668 ÷ 217
    24668 ÷ 131072     		y = 0.188201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687461853027344 × 2 - 1) × π
    0.374923706054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.17785756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188201904296875 × 2 - 1) × π
    0.62359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95908521367245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17785756} λ = 1.17785756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95908521367245))-π/2
    2×atan(7.0928356673963)-π/2
    2×1.4307321614103-π/2
    2.86146432282061-1.57079632675     		φ = 1.29066800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17785756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.486267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29066800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.949829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90107 KachelY 24668 1.17785756 1.29066800 67.486267 73.949829
    Oben rechts KachelX + 1 90108 KachelY 24668 1.17790550 1.29066800 67.489014 73.949829
    Unten links KachelX 90107 KachelY + 1 24669 1.17785756 1.29065474 67.486267 73.949069
    Unten rechts KachelX + 1 90108 KachelY + 1 24669 1.17790550 1.29065474 67.489014 73.949069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29066800-1.29065474) × R
    1.32600000000149e-05 × 6371000     		dl = 84.4794600000951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29066800-1.29065474) × R
    1.32600000000149e-05 × 6371000     		dr = 84.4794600000951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17785756-1.17790550) × cos(1.29066800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276478975452412 × 6371000     		do = 84.4437956719393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17785756-1.17790550) × cos(1.29065474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276491718552862 × 6371000     		du = 84.4476877428241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29066800)-sin(1.29065474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276478975452412-0.276491718552862)×R²
    abs(1.17790550-1.17785756)×1.27431004499634e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27431004499634e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27431004499634e-05×40589641000000     		ar = 7133.93065872216m²