Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90107 / 24619
↖ ↑ ↗
← N 73.986996°
E 67.486267°		 ← 84.25 m → N 73.986996°
E 67.489014°		 →
↑
84.29 m
↓
↑
84.29 m
↓
N 73.986238°
E 67.486267°		 ← 84.26 m →
7 102 m²		 N 73.986238°
E 67.489014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687465667724609 y=0.187831878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687465667724609 × 217)
    floor (0.687465667724609 × 131072)
    floor (90107.5)     		tx = 90107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187831878662109 × 217)
    floor (0.187831878662109 × 131072)
    floor (24619.5)     		ty = 24619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90107 / 24619 ti = "17/90107/24619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90107/24619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90107 ÷ 217
    90107 ÷ 131072     		x = 0.687461853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24619 ÷ 217
    24619 ÷ 131072     		y = 0.187828063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687461853027344 × 2 - 1) × π
    0.374923706054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.17785756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187828063964844 × 2 - 1) × π
    0.624343872070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.96143412175384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17785756} λ = 1.17785756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96143412175384))-π/2
    2×atan(7.10951566864108)-π/2
    2×1.43105650702377-π/2
    2.86211301404754-1.57079632675     		φ = 1.29131669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17785756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.486267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29131669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.986996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90107 KachelY 24619 1.17785756 1.29131669 67.486267 73.986996
    Oben rechts KachelX + 1 90108 KachelY 24619 1.17790550 1.29131669 67.489014 73.986996
    Unten links KachelX 90107 KachelY + 1 24620 1.17785756 1.29130346 67.486267 73.986238
    Unten rechts KachelX + 1 90108 KachelY + 1 24620 1.17790550 1.29130346 67.489014 73.986238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29131669-1.29130346) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dl = 84.288329999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29131669-1.29130346) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dr = 84.288329999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17785756-1.17790550) × cos(1.29131669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275855513283026 × 6371000     		do = 84.2533742774928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17785756-1.17790550) × cos(1.29130346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275868229923155 × 6371000     		du = 84.2572582667147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29131669)-sin(1.29130346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275855513283026-0.275868229923155)×R²
    abs(1.17790550-1.17785756)×1.27166401293066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27166401293066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27166401293066e-05×40589641000000     		ar = 7101.73990235191m²