Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90100 / 24659
↖ ↑ ↗
← N 73.956662°
E 67.467041°		 ← 84.41 m → N 73.956662°
E 67.469788°		 →
↑
84.42 m
↓
↑
84.42 m
↓
N 73.955903°
E 67.467041°		 ← 84.41 m →
7 126 m²		 N 73.955903°
E 67.469788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687412261962891 y=0.188137054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687412261962891 × 217)
    floor (0.687412261962891 × 131072)
    floor (90100.5)     		tx = 90100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188137054443359 × 217)
    floor (0.188137054443359 × 131072)
    floor (24659.5)     		ty = 24659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90100 / 24659 ti = "17/90100/24659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90100/24659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90100 ÷ 217
    90100 ÷ 131072     		x = 0.687408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24659 ÷ 217
    24659 ÷ 131072     		y = 0.188133239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687408447265625 × 2 - 1) × π
    0.37481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17752200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188133239746094 × 2 - 1) × π
    0.623733520507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.95951664576904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17752200} λ = 1.17752200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95951664576904))-π/2
    2×atan(7.09589640456164)-π/2
    2×1.4307917900007-π/2
    2.86158358000141-1.57079632675     		φ = 1.29078725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17752200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.467041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29078725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.956662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90100 KachelY 24659 1.17752200 1.29078725 67.467041 73.956662
    Oben rechts KachelX + 1 90101 KachelY 24659 1.17756994 1.29078725 67.469788 73.956662
    Unten links KachelX 90100 KachelY + 1 24660 1.17752200 1.29077400 67.467041 73.955903
    Unten rechts KachelX + 1 90101 KachelY + 1 24660 1.17756994 1.29077400 67.469788 73.955903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29078725-1.29077400) × R
    1.32499999998537e-05 × 6371000     		dl = 84.4157499990676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29078725-1.29077400) × R
    1.32499999998537e-05 × 6371000     		dr = 84.4157499990676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17752200-1.17756994) × cos(1.29078725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276364371855827 × 6371000     		do = 84.4087927836459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17752200-1.17756994) × cos(1.29077400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276377105782888 × 6371000     		du = 84.4126820527414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29078725)-sin(1.29077400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276364371855827-0.276377105782888)×R²
    abs(1.17756994-1.17752200)×1.27339270603599e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27339270603599e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27339270603599e-05×40589641000000     		ar = 7125.59570707623m²