Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9010 / 9448
↖ ↑ ↗
← S 26.588527°
E 17.973633°		 ← 2 184.89 m → S 26.588527°
E 17.995606°		 →
↑
2 184.68 m
↓
↑
2 184.68 m
↓
S 26.608174°
E 17.973633°		 ← 2 184.51 m →
4 772 868 m²		 S 26.608174°
E 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549957275390625 y=0.576690673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549957275390625 × 214)
    floor (0.549957275390625 × 16384)
    floor (9010.5)     		tx = 9010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576690673828125 × 214)
    floor (0.576690673828125 × 16384)
    floor (9448.5)     		ty = 9448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9010 / 9448 ti = "14/9010/9448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9010/9448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9010 ÷ 214
    9010 ÷ 16384     		x = 0.5499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9448 ÷ 214
    9448 ÷ 16384     		y = 0.57666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5499267578125 × 2 - 1) × π
    0.099853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31369907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31369907} λ = 0.31369907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481669967382324))-π/2
    2×atan(0.617750906073797)-π/2
    2×0.553369492415388-π/2
    1.10673898483078-1.57079632675     		φ = -0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31369907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.973633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9010 KachelY 9448 0.31369907 -0.46405734 17.973633 -26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 9011 KachelY 9448 0.31408257 -0.46405734 17.995606 -26.588527
    Unten links KachelX 9010 KachelY + 1 9449 0.31369907 -0.46440025 17.973633 -26.608174
    Unten rechts KachelX + 1 9011 KachelY + 1 9449 0.31408257 -0.46440025 17.995606 -26.608174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46405734--0.46440025) × R
    0.00034291000000003 × 6371000     		dl = 2184.67961000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46405734--0.46440025) × R
    0.00034291000000003 × 6371000     		dr = 2184.67961000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31369907-0.31408257) × cos(-0.46405734) × R
    0.000383499999999981 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 2184.88684247112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31369907-0.31408257) × cos(-0.46440025) × R
    0.000383499999999981 × 0.894090346411933 × 6371000     		du = 2184.51172044572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46405734)-sin(-0.46440025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.894090346411933)×R²
    abs(0.31408257-0.31369907)×0.000153532241782606×R²
    0.000383499999999981×0.000153532241782606×6371000²
    0.000383499999999981×0.000153532241782606×40589641000000     		ar = 4772868.02095372m²