Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9010 / 9434
↖ ↑ ↗
← S 26.313113°
E 17.973633°		 ← 2 190.12 m → S 26.313113°
E 17.995606°		 →
↑
2 189.90 m
↓
↑
2 189.90 m
↓
S 26.332807°
E 17.973633°		 ← 2 189.75 m →
4 795 741 m²		 S 26.332807°
E 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549957275390625 y=0.575836181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549957275390625 × 214)
    floor (0.549957275390625 × 16384)
    floor (9010.5)     		tx = 9010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575836181640625 × 214)
    floor (0.575836181640625 × 16384)
    floor (9434.5)     		ty = 9434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9010 / 9434 ti = "14/9010/9434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9010/9434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9010 ÷ 214
    9010 ÷ 16384     		x = 0.5499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9434 ÷ 214
    9434 ÷ 16384     		y = 0.5758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5499267578125 × 2 - 1) × π
    0.099853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31369907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.151611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.476301034624878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31369907} λ = 0.31369907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476301034624878))-π/2
    2×atan(0.62107648857533)-π/2
    2×0.555772937415704-π/2
    1.11154587483141-1.57079632675     		φ = -0.45925045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31369907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.973633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45925045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.313113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9010 KachelY 9434 0.31369907 -0.45925045 17.973633 -26.313113
    Oben rechts KachelX + 1 9011 KachelY 9434 0.31408257 -0.45925045 17.995606 -26.313113
    Unten links KachelX 9010 KachelY + 1 9435 0.31369907 -0.45959418 17.973633 -26.332807
    Unten rechts KachelX + 1 9011 KachelY + 1 9435 0.31408257 -0.45959418 17.995606 -26.332807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45925045--0.45959418) × R
    0.000343730000000042 × 6371000     		dl = 2189.90383000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45925045--0.45959418) × R
    0.000343730000000042 × 6371000     		dr = 2189.90383000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31369907-0.31408257) × cos(-0.45925045) × R
    0.000383499999999981 × 0.896385007085516 × 6371000     		do = 2190.11821553428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31369907-0.31408257) × cos(-0.45959418) × R
    0.000383499999999981 × 0.896232586755964 × 6371000     		du = 2189.74581022012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45925045)-sin(-0.45959418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896385007085516-0.896232586755964)×R²
    abs(0.31408257-0.31369907)×0.000152420329552094×R²
    0.000383499999999981×0.000152420329552094×6371000²
    0.000383499999999981×0.000152420329552094×40589641000000     		ar = 4795740.54965869m²