Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9010 / 26260
↖ ↑ ↗
← S 72.880871°
W 81.013184°		 ← 359.60 m → S 72.880871°
W 81.002197°		 →
↑
359.58 m
↓
↑
359.58 m
↓
S 72.884105°
W 81.013184°		 ← 359.54 m →
129 293 m²		 S 72.884105°
W 81.002197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274978637695312 y=0.801406860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274978637695312 × 215)
    floor (0.274978637695312 × 32768)
    floor (9010.5)     		tx = 9010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801406860351562 × 215)
    floor (0.801406860351562 × 32768)
    floor (26260.5)     		ty = 26260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9010 / 26260 ti = "15/9010/26260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9010/26260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9010 ÷ 215
    9010 ÷ 32768     		x = 0.27496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26260 ÷ 215
    26260 ÷ 32768     		y = 0.8013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41394679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8013916015625 × 2 - 1) × π
    -0.602783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8936992825907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41394679} λ = -1.41394679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8936992825907))-π/2
    2×atan(0.150513983936107)-π/2
    2×0.14939258344403-π/2
    0.298785166888061-1.57079632675     		φ = -1.27201116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41394679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.013184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27201116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.880871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9010 KachelY 26260 -1.41394679 -1.27201116 -81.013184 -72.880871
    Oben rechts KachelX + 1 9011 KachelY 26260 -1.41375504 -1.27201116 -81.002197 -72.880871
    Unten links KachelX 9010 KachelY + 1 26261 -1.41394679 -1.27206760 -81.013184 -72.884105
    Unten rechts KachelX + 1 9011 KachelY + 1 26261 -1.41375504 -1.27206760 -81.002197 -72.884105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27201116--1.27206760) × R
    5.64400000000465e-05 × 6371000     		dl = 359.579240000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27201116--1.27206760) × R
    5.64400000000465e-05 × 6371000     		dr = 359.579240000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41394679--1.41375504) × cos(-1.27201116) × R
    0.000191749999999935 × 0.294359414390522 × 6371000     		do = 359.601014226355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41394679--1.41375504) × cos(-1.27206760) × R
    0.000191749999999935 × 0.294305474507662 × 6371000     		du = 359.535119148313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27201116)-sin(-1.27206760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294359414390522-0.294305474507662)×R²
    abs(-1.41375504--1.41394679)×5.39398828602322e-05×R²
    0.000191749999999935×5.39398828602322e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.39398828602322e-05×40589641000000     		ar = 129293.212182427m²