Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 901 / 1157
↖ ↑ ↗
← N 61.396719°
W100.810547°		 ← 4 678.74 m → N 61.396719°
W100.722656°		 →
↑
4 681.86 m
↓
↑
4 681.86 m
↓
N 61.354614°
W100.810547°		 ← 4 685.04 m →
21 919 951 m²		 N 61.354614°
W100.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2200927734375 y=0.2825927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2200927734375 × 212)
    floor (0.2200927734375 × 4096)
    floor (901.5)     		tx = 901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2825927734375 × 212)
    floor (0.2825927734375 × 4096)
    floor (1157.5)     		ty = 1157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 901 / 1157 ti = "12/901/1157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/901/1157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 901 ÷ 212
    901 ÷ 4096     		x = 0.219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1157 ÷ 212
    1157 ÷ 4096     		y = 0.282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.56005859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75947596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282470703125 × 2 - 1) × π
    0.43505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36677688196704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75947596} λ = -1.75947596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36677688196704))-π/2
    2×atan(3.92268701490952)-π/2
    2×1.3211856105166-π/2
    2.6423712210332-1.57079632675     		φ = 1.07157489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75947596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07157489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.396719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 901 KachelY 1157 -1.75947596 1.07157489 -100.810547 61.396719
    Oben rechts KachelX + 1 902 KachelY 1157 -1.75794198 1.07157489 -100.722656 61.396719
    Unten links KachelX 901 KachelY + 1 1158 -1.75947596 1.07084002 -100.810547 61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 902 KachelY + 1 1158 -1.75794198 1.07084002 -100.722656 61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07157489-1.07084002) × R
    0.000734870000000054 × 6371000     		dl = 4681.85677000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07157489-1.07084002) × R
    0.000734870000000054 × 6371000     		dr = 4681.85677000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75947596--1.75794198) × cos(1.07157489) × R
    0.00153398000000005 × 0.478742139876658 × 6371000     		do = 4678.7405082952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75947596--1.75794198) × cos(1.07084002) × R
    0.00153398000000005 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 4685.04461115945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07157489)-sin(1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478742139876658-0.479387193751709)×R²
    abs(-1.75794198--1.75947596)×0.000645053875051149×R²
    0.00153398000000005×0.000645053875051149×6371000²
    0.00153398000000005×0.000645053875051149×40589641000000     		ar = 21919951.3636342m²