Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90098 / 24742
↖ ↑ ↗
← N 73.893539°
E 67.461548°		 ← 84.73 m → N 73.893539°
E 67.464295°		 →
↑
84.73 m
↓
↑
84.73 m
↓
N 73.892777°
E 67.461548°		 ← 84.74 m →
7 180 m²		 N 73.892777°
E 67.464295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687397003173828 y=0.188770294189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687397003173828 × 217)
    floor (0.687397003173828 × 131072)
    floor (90098.5)     		tx = 90098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188770294189453 × 217)
    floor (0.188770294189453 × 131072)
    floor (24742.5)     		ty = 24742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90098 / 24742 ti = "17/90098/24742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90098/24742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90098 ÷ 217
    90098 ÷ 131072     		x = 0.687393188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24742 ÷ 217
    24742 ÷ 131072     		y = 0.188766479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687393188476562 × 2 - 1) × π
    0.374786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17742613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188766479492188 × 2 - 1) × π
    0.622467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95553788310057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17742613} λ = 1.17742613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95553788310057))-π/2
    2×atan(7.06771960841137)-π/2
    2×1.43024094350247-π/2
    2.86048188700494-1.57079632675     		φ = 1.28968556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17742613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.461548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28968556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.893539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90098 KachelY 24742 1.17742613 1.28968556 67.461548 73.893539
    Oben rechts KachelX + 1 90099 KachelY 24742 1.17747407 1.28968556 67.464295 73.893539
    Unten links KachelX 90098 KachelY + 1 24743 1.17742613 1.28967226 67.461548 73.892777
    Unten rechts KachelX + 1 90099 KachelY + 1 24743 1.17747407 1.28967226 67.464295 73.892777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28968556-1.28967226) × R
    1.32999999999939e-05 × 6371000     		dl = 84.734299999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28968556-1.28967226) × R
    1.32999999999939e-05 × 6371000     		dr = 84.734299999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17742613-1.17747407) × cos(1.28968556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.277422986329349 × 6371000     		do = 84.7321208925959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17742613-1.17747407) × cos(1.28967226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.277435764251601 × 6371000     		du = 84.7360235989551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28968556)-sin(1.28967226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277422986329349-0.277435764251601)×R²
    abs(1.17747407-1.17742613)×1.27779222512392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27779222512392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27779222512392e-05×40589641000000     		ar = 7179.8822980285m²