Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90093 / 24738
↖ ↑ ↗
← N 73.896587°
E 67.447815°		 ← 84.72 m → N 73.896587°
E 67.450561°		 →
↑
84.73 m
↓
↑
84.73 m
↓
N 73.895825°
E 67.447815°		 ← 84.72 m →
7 179 m²		 N 73.895825°
E 67.450561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687358856201172 y=0.188739776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687358856201172 × 217)
    floor (0.687358856201172 × 131072)
    floor (90093.5)     		tx = 90093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188739776611328 × 217)
    floor (0.188739776611328 × 131072)
    floor (24738.5)     		ty = 24738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90093 / 24738 ti = "17/90093/24738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90093/24738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90093 ÷ 217
    90093 ÷ 131072     		x = 0.687355041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24738 ÷ 217
    24738 ÷ 131072     		y = 0.188735961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687355041503906 × 2 - 1) × π
    0.374710083007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.17718644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188735961914062 × 2 - 1) × π
    0.622528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.95572963069905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17718644} λ = 1.17718644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95572963069905))-π/2
    2×atan(7.06907495661124)-π/2
    2×1.43026753864836-π/2
    2.86053507729673-1.57079632675     		φ = 1.28973875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17718644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.447815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28973875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.896587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90093 KachelY 24738 1.17718644 1.28973875 67.447815 73.896587
    Oben rechts KachelX + 1 90094 KachelY 24738 1.17723438 1.28973875 67.450561 73.896587
    Unten links KachelX 90093 KachelY + 1 24739 1.17718644 1.28972545 67.447815 73.895825
    Unten rechts KachelX + 1 90094 KachelY + 1 24739 1.17723438 1.28972545 67.450561 73.895825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28973875-1.28972545) × R
    1.32999999999939e-05 × 6371000     		dl = 84.734299999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28973875-1.28972545) × R
    1.32999999999939e-05 × 6371000     		dr = 84.734299999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17718644-1.17723438) × cos(1.28973875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.27737188375726 × 6371000     		do = 84.7165128516995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17718644-1.17723438) × cos(1.28972545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.277384661875754 × 6371000     		du = 84.7204156179964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28973875)-sin(1.28972545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27737188375726-0.277384661875754)×R²
    abs(1.17723438-1.17718644)×1.27781184942055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27781184942055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27781184942055e-05×40589641000000     		ar = 7178.55976419145m²