Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90093 / 24621
↖ ↑ ↗
← N 73.985481°
E 67.447815°		 ← 84.26 m → N 73.985481°
E 67.450561°		 →
↑
84.29 m
↓
↑
84.29 m
↓
N 73.984723°
E 67.447815°		 ← 84.27 m →
7 102 m²		 N 73.984723°
E 67.450561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687358856201172 y=0.187847137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687358856201172 × 217)
    floor (0.687358856201172 × 131072)
    floor (90093.5)     		tx = 90093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187847137451172 × 217)
    floor (0.187847137451172 × 131072)
    floor (24621.5)     		ty = 24621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90093 / 24621 ti = "17/90093/24621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90093/24621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90093 ÷ 217
    90093 ÷ 131072     		x = 0.687355041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24621 ÷ 217
    24621 ÷ 131072     		y = 0.187843322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687355041503906 × 2 - 1) × π
    0.374710083007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.17718644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187843322753906 × 2 - 1) × π
    0.624313354492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.9613382479546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17718644} λ = 1.17718644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9613382479546))-π/2
    2×atan(7.1088340850367)-π/2
    2×1.43104328275627-π/2
    2.86208656551255-1.57079632675     		φ = 1.29129024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17718644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.447815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29129024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.985481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90093 KachelY 24621 1.17718644 1.29129024 67.447815 73.985481
    Oben rechts KachelX + 1 90094 KachelY 24621 1.17723438 1.29129024 67.450561 73.985481
    Unten links KachelX 90093 KachelY + 1 24622 1.17718644 1.29127701 67.447815 73.984723
    Unten rechts KachelX + 1 90094 KachelY + 1 24622 1.17723438 1.29127701 67.450561 73.984723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29129024-1.29127701) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dl = 84.288329999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29129024-1.29127701) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dr = 84.288329999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17718644-1.17723438) × cos(1.29129024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275880936903081 × 6371000     		do = 84.2611393054615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17718644-1.17723438) × cos(1.29127701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275893653446672 × 6371000     		du = 84.2650232651982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29129024)-sin(1.29127701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275880936903081-0.275893653446672)×R²
    abs(1.17723438-1.17718644)×1.27165435915289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27165435915289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27165435915289e-05×40589641000000     		ar = 7102.39440230821m²