Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9009 / 9447
↖ ↑ ↗
← S 26.568876°
E 17.951660°		 ← 2 185.20 m → S 26.568876°
E 17.973633°		 →
↑
2 185.06 m
↓
↑
2 185.06 m
↓
S 26.588527°
E 17.951660°		 ← 2 184.83 m →
4 774 398 m²		 S 26.588527°
E 17.973633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549896240234375 y=0.576629638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549896240234375 × 214)
    floor (0.549896240234375 × 16384)
    floor (9009.5)     		tx = 9009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576629638671875 × 214)
    floor (0.576629638671875 × 16384)
    floor (9447.5)     		ty = 9447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9009 / 9447 ti = "14/9009/9447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9009/9447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9009 ÷ 214
    9009 ÷ 16384     		x = 0.54986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9447 ÷ 214
    9447 ÷ 16384     		y = 0.57659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54986572265625 × 2 - 1) × π
    0.0997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31331558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.1531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.481286472185364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31331558} λ = 0.31331558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481286472185364))-π/2
    2×atan(0.617987856010872)-π/2
    2×0.553540976244778-π/2
    1.10708195248956-1.57079632675     		φ = -0.46371437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31331558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.951660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46371437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.568876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9009 KachelY 9447 0.31331558 -0.46371437 17.951660 -26.568876
    Oben rechts KachelX + 1 9010 KachelY 9447 0.31369907 -0.46371437 17.973633 -26.568876
    Unten links KachelX 9009 KachelY + 1 9448 0.31331558 -0.46405734 17.951660 -26.588527
    Unten rechts KachelX + 1 9010 KachelY + 1 9448 0.31369907 -0.46405734 17.973633 -26.588527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46371437--0.46405734) × R
    0.000342969999999998 × 6371000     		dl = 2185.06186999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46371437--0.46405734) × R
    0.000342969999999998 × 6371000     		dr = 2185.06186999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31331558-0.31369907) × cos(-0.46371437) × R
    0.000383490000000042 × 0.894397332580204 × 6371000     		do = 2185.20479109674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31331558-0.31369907) × cos(-0.46405734) × R
    0.000383490000000042 × 0.894243878653715 × 6371000     		du = 2184.82987019396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46371437)-sin(-0.46405734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894397332580204-0.894243878653715)×R²
    abs(0.31369907-0.31331558)×0.000153453926489022×R²
    0.000383490000000042×0.000153453926489022×6371000²
    0.000383490000000042×0.000153453926489022×40589641000000     		ar = 4774398.1012826m²