Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9009 / 26226
↖ ↑ ↗
← S 72.770574°
W 81.024170°		 ← 361.85 m → S 72.770574°
W 81.013184°		 →
↑
361.81 m
↓
↑
361.81 m
↓
S 72.773828°
W 81.024170°		 ← 361.78 m →
130 908 m²		 S 72.773828°
W 81.013184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274948120117188 y=0.800369262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274948120117188 × 215)
    floor (0.274948120117188 × 32768)
    floor (9009.5)     		tx = 9009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800369262695312 × 215)
    floor (0.800369262695312 × 32768)
    floor (26226.5)     		ty = 26226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9009 / 26226 ti = "15/9009/26226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9009/26226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9009 ÷ 215
    9009 ÷ 32768     		x = 0.274932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26226 ÷ 215
    26226 ÷ 32768     		y = 0.80035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.45013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41413854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.6007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88717986424237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41413854} λ = -1.41413854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88717986424237))-π/2
    2×atan(0.151498453161134)-π/2
    2×0.15035510435139-π/2
    0.30071020870278-1.57079632675     		φ = -1.27008612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41413854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.024170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27008612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.770574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9009 KachelY 26226 -1.41413854 -1.27008612 -81.024170 -72.770574
    Oben rechts KachelX + 1 9010 KachelY 26226 -1.41394679 -1.27008612 -81.013184 -72.770574
    Unten links KachelX 9009 KachelY + 1 26227 -1.41413854 -1.27014291 -81.024170 -72.773828
    Unten rechts KachelX + 1 9010 KachelY + 1 26227 -1.41394679 -1.27014291 -81.013184 -72.773828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27008612--1.27014291) × R
    5.67899999999177e-05 × 6371000     		dl = 361.809089999476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27008612--1.27014291) × R
    5.67899999999177e-05 × 6371000     		dr = 361.809089999476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41413854--1.41394679) × cos(-1.27008612) × R
    0.000191749999999935 × 0.296198618541031 × 6371000     		do = 361.847858205379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41413854--1.41394679) × cos(-1.27014291) × R
    0.000191749999999935 × 0.296144376437 × 6371000     		du = 361.781593922092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27008612)-sin(-1.27014291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296198618541031-0.296144376437)×R²
    abs(-1.41394679--1.41413854)×5.42421040310437e-05×R²
    0.000191749999999935×5.42421040310437e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.42421040310437e-05×40589641000000     		ar = 130907.856821205m²