Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9009 / 26189
↖ ↑ ↗
← S 72.649762°
W 81.024170°		 ← 364.31 m → S 72.649762°
W 81.013184°		 →
↑
364.29 m
↓
↑
364.29 m
↓
S 72.653038°
W 81.024170°		 ← 364.24 m →
132 703 m²		 S 72.653038°
W 81.013184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274948120117188 y=0.799240112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274948120117188 × 215)
    floor (0.274948120117188 × 32768)
    floor (9009.5)     		tx = 9009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799240112304688 × 215)
    floor (0.799240112304688 × 32768)
    floor (26189.5)     		ty = 26189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9009 / 26189 ti = "15/9009/26189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9009/26189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9009 ÷ 215
    9009 ÷ 32768     		x = 0.274932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26189 ÷ 215
    26189 ÷ 32768     		y = 0.799224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.45013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41413854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.59844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8800852030986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41413854} λ = -1.41413854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8800852030986))-π/2
    2×atan(0.152577105160911)-π/2
    2×0.151409386024619-π/2
    0.302818772049238-1.57079632675     		φ = -1.26797755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41413854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.024170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26797755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.649762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9009 KachelY 26189 -1.41413854 -1.26797755 -81.024170 -72.649762
    Oben rechts KachelX + 1 9010 KachelY 26189 -1.41394679 -1.26797755 -81.013184 -72.649762
    Unten links KachelX 9009 KachelY + 1 26190 -1.41413854 -1.26803473 -81.024170 -72.653038
    Unten rechts KachelX + 1 9010 KachelY + 1 26190 -1.41394679 -1.26803473 -81.013184 -72.653038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26797755--1.26803473) × R
    5.71800000002121e-05 × 6371000     		dl = 364.293780001351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26797755--1.26803473) × R
    5.71800000002121e-05 × 6371000     		dr = 364.293780001351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41413854--1.41394679) × cos(-1.26797755) × R
    0.000191749999999935 × 0.298211909394648 × 6371000     		do = 364.307373333822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41413854--1.41394679) × cos(-1.26803473) × R
    0.000191749999999935 × 0.298157330614927 × 6371000     		du = 364.240697754298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26797755)-sin(-1.26803473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298211909394648-0.298157330614927)×R²
    abs(-1.41394679--1.41413854)×5.45787797209818e-05×R²
    0.000191749999999935×5.45787797209818e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.45787797209818e-05×40589641000000     		ar = 132702.765401038m²