Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9007 / 4847
↖ ↑ ↗
← N 82.131179°
W130.523071°		 ← 83.62 m → N 82.131179°
W130.517578°		 →
↑
83.65 m
↓
↑
83.65 m
↓
N 82.130427°
W130.523071°		 ← 83.63 m →
6 995 m²		 N 82.130427°
W130.517578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137443542480469 y=0.0739669799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137443542480469 × 216)
    floor (0.137443542480469 × 65536)
    floor (9007.5)     		tx = 9007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0739669799804688 × 216)
    floor (0.0739669799804688 × 65536)
    floor (4847.5)     		ty = 4847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9007 / 4847 ti = "16/9007/4847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9007/4847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9007 ÷ 216
    9007 ÷ 65536     		x = 0.137435913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4847 ÷ 216
    4847 ÷ 65536     		y = 0.0739593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137435913085938 × 2 - 1) × π
    -0.725128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27805734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0739593505859375 × 2 - 1) × π
    0.852081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.67689234858318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27805734} λ = -2.27805734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67689234858318))-π/2
    2×atan(14.5398382648868)-π/2
    2×1.50212790672611-π/2
    3.00425581345222-1.57079632675     		φ = 1.43345949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27805734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.523071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43345949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.131179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9007 KachelY 4847 -2.27805734 1.43345949 -130.523071 82.131179
    Oben rechts KachelX + 1 9008 KachelY 4847 -2.27796147 1.43345949 -130.517578 82.131179
    Unten links KachelX 9007 KachelY + 1 4848 -2.27805734 1.43344636 -130.523071 82.130427
    Unten rechts KachelX + 1 9008 KachelY + 1 4848 -2.27796147 1.43344636 -130.517578 82.130427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43345949-1.43344636) × R
    1.31299999999168e-05 × 6371000     		dl = 83.6512299994701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43345949-1.43344636) × R
    1.31299999999168e-05 × 6371000     		dr = 83.6512299994701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27805734--2.27796147) × cos(1.43345949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1369055161051 × 6371000     		do = 83.6202148825313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27805734--2.27796147) × cos(1.43344636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.136918522462667 × 6371000     		du = 83.6281590066657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43345949)-sin(1.43344636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1369055161051-0.136918522462667)×R²
    abs(-2.27796147--2.27805734)×1.30063575672912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.30063575672912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.30063575672912e-05×40589641000000     		ar = 6995.26609578955m²