Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9007 / 26191
↖ ↑ ↗
← S 72.656314°
W 81.046142°		 ← 364.16 m → S 72.656314°
W 81.035156°		 →
↑
364.10 m
↓
↑
364.10 m
↓
S 72.659588°
W 81.046142°		 ← 364.09 m →
132 578 m²		 S 72.659588°
W 81.035156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274887084960938 y=0.799301147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274887084960938 × 215)
    floor (0.274887084960938 × 32768)
    floor (9007.5)     		tx = 9007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799301147460938 × 215)
    floor (0.799301147460938 × 32768)
    floor (26191.5)     		ty = 26191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9007 / 26191 ti = "15/9007/26191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9007/26191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9007 ÷ 215
    9007 ÷ 32768     		x = 0.274871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26191 ÷ 215
    26191 ÷ 32768     		y = 0.799285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.45025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41452203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.59857177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88046869829556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41452203} λ = -1.41452203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88046869829556))-π/2
    2×atan(0.152518603792129)-π/2
    2×0.151352215072386-π/2
    0.302704430144773-1.57079632675     		φ = -1.26809190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41452203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.046142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26809190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.656314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9007 KachelY 26191 -1.41452203 -1.26809190 -81.046142 -72.656314
    Oben rechts KachelX + 1 9008 KachelY 26191 -1.41433029 -1.26809190 -81.035156 -72.656314
    Unten links KachelX 9007 KachelY + 1 26192 -1.41452203 -1.26814905 -81.046142 -72.659588
    Unten rechts KachelX + 1 9008 KachelY + 1 26192 -1.41433029 -1.26814905 -81.035156 -72.659588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26809190--1.26814905) × R
    5.71500000001723e-05 × 6371000     		dl = 364.102650001098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26809190--1.26814905) × R
    5.71500000001723e-05 × 6371000     		dr = 364.102650001098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41452203--1.41433029) × cos(-1.26809190) × R
    0.000191739999999996 × 0.298102760405703 × 6371000     		do = 364.155040518079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41452203--1.41433029) × cos(-1.26814905) × R
    0.000191739999999996 × 0.298048208313173 × 6371000     		du = 364.088401016189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26809190)-sin(-1.26814905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298102760405703-0.298048208313173)×R²
    abs(-1.41433029--1.41452203)×5.45520925294141e-05×R²
    0.000191739999999996×5.45520925294141e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.45520925294141e-05×40589641000000     		ar = 132577.683490955m²