Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90067 / 24653
↖ ↑ ↗
← N 73.961216°
E 67.376404°		 ← 84.39 m → N 73.961216°
E 67.379150°		 →
↑
84.35 m
↓
↑
84.35 m
↓
N 73.960457°
E 67.376404°		 ← 84.39 m →
7 118 m²		 N 73.960457°
E 67.379150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687160491943359 y=0.188091278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687160491943359 × 217)
    floor (0.687160491943359 × 131072)
    floor (90067.5)     		tx = 90067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188091278076172 × 217)
    floor (0.188091278076172 × 131072)
    floor (24653.5)     		ty = 24653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90067 / 24653 ti = "17/90067/24653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90067/24653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90067 ÷ 217
    90067 ÷ 131072     		x = 0.687156677246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24653 ÷ 217
    24653 ÷ 131072     		y = 0.188087463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687156677246094 × 2 - 1) × π
    0.374313354492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.17594008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188087463378906 × 2 - 1) × π
    0.623825073242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.95980426716676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17594008} λ = 1.17594008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95980426716676))-π/2
    2×atan(7.09793762973954)-π/2
    2×1.43083152866115-π/2
    2.86166305732231-1.57079632675     		φ = 1.29086673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17594008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.376404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29086673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.961216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90067 KachelY 24653 1.17594008 1.29086673 67.376404 73.961216
    Oben rechts KachelX + 1 90068 KachelY 24653 1.17598802 1.29086673 67.379150 73.961216
    Unten links KachelX 90067 KachelY + 1 24654 1.17594008 1.29085349 67.376404 73.960457
    Unten rechts KachelX + 1 90068 KachelY + 1 24654 1.17598802 1.29085349 67.379150 73.960457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29086673-1.29085349) × R
    1.32400000001365e-05 × 6371000     		dl = 84.3520400008695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29086673-1.29085349) × R
    1.32400000001365e-05 × 6371000     		dr = 84.3520400008695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17594008-1.17598802) × cos(1.29086673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276287986496137 × 6371000     		do = 84.3854627286372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17594008-1.17598802) × cos(1.29085349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276300711103494 × 6371000     		du = 84.3893491512554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29086673)-sin(1.29085349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276287986496137-0.276300711103494)×R²
    abs(1.17598802-1.17594008)×1.27246073569065e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27246073569065e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27246073569065e-05×40589641000000     		ar = 7118.24984147034m²