Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9006 / 4851
↖ ↑ ↗
← N 82.128170°
W130.528565°		 ← 83.66 m → N 82.128170°
W130.523071°		 →
↑
83.65 m
↓
↑
83.65 m
↓
N 82.127417°
W130.528565°		 ← 83.67 m →
6 999 m²		 N 82.127417°
W130.523071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137428283691406 y=0.0740280151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137428283691406 × 216)
    floor (0.137428283691406 × 65536)
    floor (9006.5)     		tx = 9006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0740280151367188 × 216)
    floor (0.0740280151367188 × 65536)
    floor (4851.5)     		ty = 4851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9006 / 4851 ti = "16/9006/4851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9006/4851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9006 ÷ 216
    9006 ÷ 65536     		x = 0.137420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4851 ÷ 216
    4851 ÷ 65536     		y = 0.0740203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.72515869140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27815322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0740203857421875 × 2 - 1) × π
    0.851959228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.67650885338622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27815322} λ = -2.27815322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67650885338622))-π/2
    2×atan(14.5342633757875)-π/2
    2×1.5021016504347-π/2
    3.00420330086939-1.57079632675     		φ = 1.43340697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27815322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.528565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43340697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.128170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9006 KachelY 4851 -2.27815322 1.43340697 -130.528565 82.128170
    Oben rechts KachelX + 1 9007 KachelY 4851 -2.27805734 1.43340697 -130.523071 82.128170
    Unten links KachelX 9006 KachelY + 1 4852 -2.27815322 1.43339384 -130.528565 82.127417
    Unten rechts KachelX + 1 9007 KachelY + 1 4852 -2.27805734 1.43339384 -130.523071 82.127417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43340697-1.43339384) × R
    1.31300000001389e-05 × 6371000     		dl = 83.6512300008847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43340697-1.43339384) × R
    1.31300000001389e-05 × 6371000     		dr = 83.6512300008847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27815322--2.27805734) × cos(1.43340697) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.136957541393734 × 6371000     		do = 83.6607168574691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27815322--2.27805734) × cos(1.43339384) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.136970547656871 × 6371000     		du = 83.6686617525554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43340697)-sin(1.43339384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.136957541393734-0.136970547656871)×R²
    abs(-2.27805734--2.27815322)×1.30062631367167e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.30062631367167e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.30062631367167e-05×40589641000000     		ar = 6998.65416826017m²