Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9006 / 26225
↖ ↑ ↗
← S 72.767320°
W 81.057129°		 ← 361.91 m → S 72.767320°
W 81.046142°		 →
↑
361.87 m
↓
↑
361.87 m
↓
S 72.770574°
W 81.057129°		 ← 361.85 m →
130 955 m²		 S 72.770574°
W 81.046142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274856567382812 y=0.800338745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274856567382812 × 215)
    floor (0.274856567382812 × 32768)
    floor (9006.5)     		tx = 9006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800338745117188 × 215)
    floor (0.800338745117188 × 32768)
    floor (26225.5)     		ty = 26225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9006 / 26225 ti = "15/9006/26225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9006/26225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9006 ÷ 215
    9006 ÷ 32768     		x = 0.27484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26225 ÷ 215
    26225 ÷ 32768     		y = 0.800323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.4503173828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41471378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.60064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88698811664389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41471378} λ = -1.41471378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88698811664389))-π/2
    2×atan(0.151527505410961)-π/2
    2×0.150383504639019-π/2
    0.300767009278038-1.57079632675     		φ = -1.27002932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41471378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.057129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27002932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.767320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9006 KachelY 26225 -1.41471378 -1.27002932 -81.057129 -72.767320
    Oben rechts KachelX + 1 9007 KachelY 26225 -1.41452203 -1.27002932 -81.046142 -72.767320
    Unten links KachelX 9006 KachelY + 1 26226 -1.41471378 -1.27008612 -81.057129 -72.770574
    Unten rechts KachelX + 1 9007 KachelY + 1 26226 -1.41452203 -1.27008612 -81.046142 -72.770574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27002932--1.27008612) × R
    5.6800000000079e-05 × 6371000     		dl = 361.872800000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27002932--1.27008612) × R
    5.6800000000079e-05 × 6371000     		dr = 361.872800000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41471378--1.41452203) × cos(-1.27002932) × R
    0.000191749999999935 × 0.296252869240886 × 6371000     		do = 361.914132989662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41471378--1.41452203) × cos(-1.27008612) × R
    0.000191749999999935 × 0.296198618541031 × 6371000     		du = 361.847858205379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27002932)-sin(-1.27008612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296252869240886-0.296198618541031)×R²
    abs(-1.41452203--1.41471378)×5.42506998553183e-05×R²
    0.000191749999999935×5.42506998553183e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.42506998553183e-05×40589641000000     		ar = 130954.889179234m²