Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9005 / 4850
↖ ↑ ↗
← N 82.128922°
W130.534058°		 ← 83.64 m → N 82.128922°
W130.528565°		 →
↑
83.65 m
↓
↑
83.65 m
↓
N 82.128170°
W130.534058°		 ← 83.65 m →
6 997 m²		 N 82.128170°
W130.528565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137413024902344 y=0.0740127563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137413024902344 × 216)
    floor (0.137413024902344 × 65536)
    floor (9005.5)     		tx = 9005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0740127563476562 × 216)
    floor (0.0740127563476562 × 65536)
    floor (4850.5)     		ty = 4850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9005 / 4850 ti = "16/9005/4850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9005/4850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9005 ÷ 216
    9005 ÷ 65536     		x = 0.137405395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4850 ÷ 216
    4850 ÷ 65536     		y = 0.074005126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137405395507812 × 2 - 1) × π
    -0.725189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27824909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.074005126953125 × 2 - 1) × π
    0.85198974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.67660472718546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27824909} λ = -2.27824909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67660472718546))-π/2
    2×atan(14.5356568976366)-π/2
    2×1.50210821544267-π/2
    3.00421643088534-1.57079632675     		φ = 1.43342010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27824909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.534058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43342010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.128922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9005 KachelY 4850 -2.27824909 1.43342010 -130.534058 82.128922
    Oben rechts KachelX + 1 9006 KachelY 4850 -2.27815322 1.43342010 -130.528565 82.128922
    Unten links KachelX 9005 KachelY + 1 4851 -2.27824909 1.43340697 -130.534058 82.128170
    Unten rechts KachelX + 1 9006 KachelY + 1 4851 -2.27815322 1.43340697 -130.528565 82.128170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43342010-1.43340697) × R
    1.31299999999168e-05 × 6371000     		dl = 83.6512299994701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43342010-1.43340697) × R
    1.31299999999168e-05 × 6371000     		dr = 83.6512299994701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27824909--2.27815322) × cos(1.43342010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.136944535106987 × 6371000     		do = 83.6440472116814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27824909--2.27815322) × cos(1.43340697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.136957541393734 × 6371000     		du = 83.6519912925599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43342010)-sin(1.43340697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.136944535106987-0.136957541393734)×R²
    abs(-2.27815322--2.27824909)×1.300628674758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.300628674758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.300628674758e-05×40589641000000     		ar = 6997.2596973753m²