Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9005 / 26255
↖ ↑ ↗
← S 72.864694°
W 81.068115°		 ← 359.93 m → S 72.864694°
W 81.057129°		 →
↑
359.90 m
↓
↑
359.90 m
↓
S 72.867931°
W 81.068115°		 ← 359.86 m →
129 526 m²		 S 72.867931°
W 81.057129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274826049804688 y=0.801254272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274826049804688 × 215)
    floor (0.274826049804688 × 32768)
    floor (9005.5)     		tx = 9005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801254272460938 × 215)
    floor (0.801254272460938 × 32768)
    floor (26255.5)     		ty = 26255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9005 / 26255 ti = "15/9005/26255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9005/26255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9005 ÷ 215
    9005 ÷ 32768     		x = 0.274810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26255 ÷ 215
    26255 ÷ 32768     		y = 0.801239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.45037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41490553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.60247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8927405445983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41490553} λ = -1.41490553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8927405445983))-π/2
    2×atan(0.150658356607618)-π/2
    2×0.149533754884257-π/2
    0.299067509768513-1.57079632675     		φ = -1.27172882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41490553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.068115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27172882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.864694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9005 KachelY 26255 -1.41490553 -1.27172882 -81.068115 -72.864694
    Oben rechts KachelX + 1 9006 KachelY 26255 -1.41471378 -1.27172882 -81.057129 -72.864694
    Unten links KachelX 9005 KachelY + 1 26256 -1.41490553 -1.27178531 -81.068115 -72.867931
    Unten rechts KachelX + 1 9006 KachelY + 1 26256 -1.41471378 -1.27178531 -81.057129 -72.867931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27172882--1.27178531) × R
    5.64899999999646e-05 × 6371000     		dl = 359.897789999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27172882--1.27178531) × R
    5.64899999999646e-05 × 6371000     		dr = 359.897789999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41490553--1.41471378) × cos(-1.27172882) × R
    0.000191749999999935 × 0.294629233521908 × 6371000     		do = 359.930635867656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41490553--1.41471378) × cos(-1.27178531) × R
    0.000191749999999935 × 0.29457525055005 × 6371000     		du = 359.864688150404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27172882)-sin(-1.27178531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294629233521908-0.29457525055005)×R²
    abs(-1.41471378--1.41490553)×5.39829718573248e-05×R²
    0.000191749999999935×5.39829718573248e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.39829718573248e-05×40589641000000     		ar = 129526.373217305m²