Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90043 / 24678
↖ ↑ ↗
← N 73.942233°
E 67.310486°		 ← 84.48 m → N 73.942233°
E 67.313233°		 →
↑
84.48 m
↓
↑
84.48 m
↓
N 73.941474°
E 67.310486°		 ← 84.49 m →
7 137 m²		 N 73.941474°
E 67.313233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686977386474609 y=0.188282012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686977386474609 × 217)
    floor (0.686977386474609 × 131072)
    floor (90043.5)     		tx = 90043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188282012939453 × 217)
    floor (0.188282012939453 × 131072)
    floor (24678.5)     		ty = 24678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90043 / 24678 ti = "17/90043/24678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90043/24678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90043 ÷ 217
    90043 ÷ 131072     		x = 0.686973571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24678 ÷ 217
    24678 ÷ 131072     		y = 0.188278198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686973571777344 × 2 - 1) × π
    0.373947143554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.17478960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188278198242188 × 2 - 1) × π
    0.623443603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95860584467625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17478960} λ = 1.17478960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95860584467625))-π/2
    2×atan(7.08943639669979)-π/2
    2×1.43066587841856-π/2
    2.86133175683712-1.57079632675     		φ = 1.29053543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17478960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.310486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29053543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.942233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90043 KachelY 24678 1.17478960 1.29053543 67.310486 73.942233
    Oben rechts KachelX + 1 90044 KachelY 24678 1.17483754 1.29053543 67.313233 73.942233
    Unten links KachelX 90043 KachelY + 1 24679 1.17478960 1.29052217 67.310486 73.941474
    Unten rechts KachelX + 1 90044 KachelY + 1 24679 1.17483754 1.29052217 67.313233 73.941474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29053543-1.29052217) × R
    1.32600000000149e-05 × 6371000     		dl = 84.4794600000951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29053543-1.29052217) × R
    1.32600000000149e-05 × 6371000     		dr = 84.4794600000951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17478960-1.17483754) × cos(1.29053543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276606375439474 × 6371000     		do = 84.4827069072636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17478960-1.17483754) × cos(1.29052217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276619118053784 × 6371000     		du = 84.4865988296689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29053543)-sin(1.29052217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276606375439474-0.276619118053784)×R²
    abs(1.17483754-1.17478960)×1.27426143103904e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27426143103904e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27426143103904e-05×40589641000000     		ar = 7137.21785253431m²