Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9003 / 26219
↖ ↑ ↗
← S 72.747781°
W 81.090088°		 ← 362.29 m → S 72.747781°
W 81.079102°		 →
↑
362.26 m
↓
↑
362.26 m
↓
S 72.751039°
W 81.090088°		 ← 362.23 m →
131 231 m²		 S 72.751039°
W 81.079102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274765014648438 y=0.800155639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274765014648438 × 215)
    floor (0.274765014648438 × 32768)
    floor (9003.5)     		tx = 9003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800155639648438 × 215)
    floor (0.800155639648438 × 32768)
    floor (26219.5)     		ty = 26219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9003 / 26219 ti = "15/9003/26219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9003/26219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9003 ÷ 215
    9003 ÷ 32768     		x = 0.274749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26219 ÷ 215
    26219 ÷ 32768     		y = 0.800140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.45050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41528902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800140380859375 × 2 - 1) × π
    -0.60028076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88583763105301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41528902} λ = -1.41528902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88583763105301))-π/2
    2×atan(0.151701935943226)-π/2
    2×0.150554015630713-π/2
    0.301108031261425-1.57079632675     		φ = -1.26968830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41528902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.090088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26968830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.747781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9003 KachelY 26219 -1.41528902 -1.26968830 -81.090088 -72.747781
    Oben rechts KachelX + 1 9004 KachelY 26219 -1.41509728 -1.26968830 -81.079102 -72.747781
    Unten links KachelX 9003 KachelY + 1 26220 -1.41528902 -1.26974516 -81.090088 -72.751039
    Unten rechts KachelX + 1 9004 KachelY + 1 26220 -1.41509728 -1.26974516 -81.079102 -72.751039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26968830--1.26974516) × R
    5.68599999999364e-05 × 6371000     		dl = 362.255059999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26968830--1.26974516) × R
    5.68599999999364e-05 × 6371000     		dr = 362.255059999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41528902--1.41509728) × cos(-1.26968830) × R
    0.000191739999999996 × 0.29657856346432 × 6371000     		do = 362.293118816343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41528902--1.41509728) × cos(-1.26974516) × R
    0.000191739999999996 × 0.296524261203974 × 6371000     		du = 362.226784503338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26968830)-sin(-1.26974516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29657856346432-0.296524261203974)×R²
    abs(-1.41509728--1.41528902)×5.43022603456955e-05×R²
    0.000191739999999996×5.43022603456955e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.43022603456955e-05×40589641000000     		ar = 131230.500559401m²