Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9003 / 11988
↖ ↑ ↗
← S 63.743631°
E 17.819824°		 ← 1 080.88 m → S 63.743631°
E 17.841797°		 →
↑
1 080.65 m
↓
↑
1 080.65 m
↓
S 63.753350°
E 17.819824°		 ← 1 080.51 m →
1 167 849 m²		 S 63.753350°
E 17.841797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549530029296875 y=0.731719970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549530029296875 × 214)
    floor (0.549530029296875 × 16384)
    floor (9003.5)     		tx = 9003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731719970703125 × 214)
    floor (0.731719970703125 × 16384)
    floor (11988.5)     		ty = 11988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9003 / 11988 ti = "14/9003/11988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9003/11988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9003 ÷ 214
    9003 ÷ 16384     		x = 0.54949951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11988 ÷ 214
    11988 ÷ 16384     		y = 0.731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54949951171875 × 2 - 1) × π
    0.0989990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31101460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.46337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45574776766187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31101460} λ = 0.31101460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45574776766187))-π/2
    2×atan(0.233225899894159)-π/2
    2×0.229130044558728-π/2
    0.458260089117456-1.57079632675     		φ = -1.11253624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31101460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.819824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11253624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.743631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9003 KachelY 11988 0.31101460 -1.11253624 17.819824 -63.743631
    Oben rechts KachelX + 1 9004 KachelY 11988 0.31139810 -1.11253624 17.841797 -63.743631
    Unten links KachelX 9003 KachelY + 1 11989 0.31101460 -1.11270586 17.819824 -63.753350
    Unten rechts KachelX + 1 9004 KachelY + 1 11989 0.31139810 -1.11270586 17.841797 -63.753350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11253624--1.11270586) × R
    0.00016961999999987 × 6371000     		dl = 1080.64901999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11253624--1.11270586) × R
    0.00016961999999987 × 6371000     		dr = 1080.64901999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31101460-0.31139810) × cos(-1.11253624) × R
    0.000383500000000037 × 0.442388382197799 × 6371000     		do = 1080.87802287377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31101460-0.31139810) × cos(-1.11270586) × R
    0.000383500000000037 × 0.44223625662028 × 6371000     		du = 1080.50633772092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11253624)-sin(-1.11270586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442388382197799-0.44223625662028)×R²
    abs(0.31139810-0.31101460)×0.00015212557751898×R²
    0.000383500000000037×0.00015212557751898×6371000²
    0.000383500000000037×0.00015212557751898×40589641000000     		ar = 1167848.94835994m²