Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9002 / 26232
↖ ↑ ↗
← S 72.790088°
W 81.101074°		 ← 361.45 m → S 72.790088°
W 81.090088°		 →
↑
361.43 m
↓
↑
361.43 m
↓
S 72.793338°
W 81.101074°		 ← 361.38 m →
130 626 m²		 S 72.793338°
W 81.090088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274734497070312 y=0.800552368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274734497070312 × 215)
    floor (0.274734497070312 × 32768)
    floor (9002.5)     		tx = 9002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800552368164062 × 215)
    floor (0.800552368164062 × 32768)
    floor (26232.5)     		ty = 26232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9002 / 26232 ti = "15/9002/26232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9002/26232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9002 ÷ 215
    9002 ÷ 32768     		x = 0.27471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26232 ÷ 215
    26232 ÷ 32768     		y = 0.800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.4505615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41548077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.60107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88833034983325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41548077} λ = -1.41548077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88833034983325))-π/2
    2×atan(0.151324256598263)-π/2
    2×0.150184811813192-π/2
    0.300369623626384-1.57079632675     		φ = -1.27042670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41548077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.101074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27042670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.790088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9002 KachelY 26232 -1.41548077 -1.27042670 -81.101074 -72.790088
    Oben rechts KachelX + 1 9003 KachelY 26232 -1.41528902 -1.27042670 -81.090088 -72.790088
    Unten links KachelX 9002 KachelY + 1 26233 -1.41548077 -1.27048343 -81.101074 -72.793338
    Unten rechts KachelX + 1 9003 KachelY + 1 26233 -1.41528902 -1.27048343 -81.090088 -72.793338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27042670--1.27048343) × R
    5.67300000000603e-05 × 6371000     		dl = 361.426830000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27042670--1.27048343) × R
    5.67300000000603e-05 × 6371000     		dr = 361.426830000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41548077--1.41528902) × cos(-1.27042670) × R
    0.000191750000000157 × 0.295873304430251 × 6371000     		do = 361.450441719489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41548077--1.41528902) × cos(-1.27048343) × R
    0.000191750000000157 × 0.295819113915592 × 6371000     		du = 361.384240459805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27042670)-sin(-1.27048343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295873304430251-0.295819113915592)×R²
    abs(-1.41528902--1.41548077)×5.4190514658492e-05×R²
    0.000191750000000157×5.4190514658492e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.4190514658492e-05×40589641000000     		ar = 130625.923932759m²