Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9002 / 11482
↖ ↑ ↗
← N 75.194214°
W130.550537°		 ← 156.08 m → N 75.194214°
W130.545044°		 →
↑
156.09 m
↓
↑
156.09 m
↓
N 75.192810°
W130.550537°		 ← 156.10 m →
24 364 m²		 N 75.192810°
W130.545044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137367248535156 y=0.175209045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137367248535156 × 216)
    floor (0.137367248535156 × 65536)
    floor (9002.5)     		tx = 9002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175209045410156 × 216)
    floor (0.175209045410156 × 65536)
    floor (11482.5)     		ty = 11482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9002 / 11482 ti = "16/9002/11482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9002/11482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9002 ÷ 216
    9002 ÷ 65536     		x = 0.137359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11482 ÷ 216
    11482 ÷ 65536     		y = 0.175201416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137359619140625 × 2 - 1) × π
    -0.72528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27853671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.175201416015625 × 2 - 1) × π
    0.64959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.04076969062503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27853671} λ = -2.27853671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04076969062503))-π/2
    2×atan(7.69653086731414)-π/2
    2×1.441591470397-π/2
    2.883182940794-1.57079632675     		φ = 1.31238661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27853671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.550537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31238661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.194214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9002 KachelY 11482 -2.27853671 1.31238661 -130.550537 75.194214
    Oben rechts KachelX + 1 9003 KachelY 11482 -2.27844084 1.31238661 -130.545044 75.194214
    Unten links KachelX 9002 KachelY + 1 11483 -2.27853671 1.31236211 -130.550537 75.192810
    Unten rechts KachelX + 1 9003 KachelY + 1 11483 -2.27844084 1.31236211 -130.545044 75.192810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31238661-1.31236211) × R
    2.44999999998718e-05 × 6371000     		dl = 156.089499999184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31238661-1.31236211) × R
    2.44999999998718e-05 × 6371000     		dr = 156.089499999184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27853671--2.27844084) × cos(1.31238661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.255543393709747 × 6371000     		do = 156.082779582205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27853671--2.27844084) × cos(1.31236211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.255567080173928 × 6371000     		du = 156.097246984841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31238661)-sin(1.31236211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.255543393709747-0.255567080173928)×R²
    abs(-2.27844084--2.27853671)×2.36864641802725e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.36864641802725e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.36864641802725e-05×40589641000000     		ar = 24364.0121295728m²