Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90018 / 24657
↖ ↑ ↗
← N 73.958180°
E 67.241821°		 ← 84.38 m → N 73.958180°
E 67.244568°		 →
↑
84.42 m
↓
↑
84.42 m
↓
N 73.957421°
E 67.241821°		 ← 84.39 m →
7 123 m²		 N 73.957421°
E 67.244568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686786651611328 y=0.188121795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686786651611328 × 217)
    floor (0.686786651611328 × 131072)
    floor (90018.5)     		tx = 90018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188121795654297 × 217)
    floor (0.188121795654297 × 131072)
    floor (24657.5)     		ty = 24657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90018 / 24657 ti = "17/90018/24657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90018/24657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90018 ÷ 217
    90018 ÷ 131072     		x = 0.686782836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24657 ÷ 217
    24657 ÷ 131072     		y = 0.188117980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686782836914062 × 2 - 1) × π
    0.373565673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17359118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188117980957031 × 2 - 1) × π
    0.623764038085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.95961251956828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17359118} λ = 1.17359118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95961251956828))-π/2
    2×atan(7.09657674772198)-π/2
    2×1.43080503744139-π/2
    2.86161007488278-1.57079632675     		φ = 1.29081375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17359118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.241821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29081375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.958180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90018 KachelY 24657 1.17359118 1.29081375 67.241821 73.958180
    Oben rechts KachelX + 1 90019 KachelY 24657 1.17363911 1.29081375 67.244568 73.958180
    Unten links KachelX 90018 KachelY + 1 24658 1.17359118 1.29080050 67.241821 73.957421
    Unten rechts KachelX + 1 90019 KachelY + 1 24658 1.17363911 1.29080050 67.244568 73.957421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29081375-1.29080050) × R
    1.32500000000757e-05 × 6371000     		dl = 84.4157500004823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29081375-1.29080050) × R
    1.32500000000757e-05 × 6371000     		dr = 84.4157500004823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17359118-1.17363911) × cos(1.29081375) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276338903856151 × 6371000     		do = 84.3834086495407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17359118-1.17363911) × cos(1.29080050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276351637880247 × 6371000     		du = 84.3872971369889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29081375)-sin(1.29080050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276338903856151-0.276351637880247)×R²
    abs(1.17363911-1.17359118)×1.27340240967388e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27340240967388e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27340240967388e-05×40589641000000     		ar = 7123.45285370439m²