Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9001 / 26230
↖ ↑ ↗
← S 72.783586°
W 81.112061°		 ← 361.58 m → S 72.783586°
W 81.101074°		 →
↑
361.49 m
↓
↑
361.49 m
↓
S 72.786837°
W 81.112061°		 ← 361.52 m →
130 697 m²		 S 72.786837°
W 81.101074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274703979492188 y=0.800491333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274703979492188 × 215)
    floor (0.274703979492188 × 32768)
    floor (9001.5)     		tx = 9001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800491333007812 × 215)
    floor (0.800491333007812 × 32768)
    floor (26230.5)     		ty = 26230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9001 / 26230 ti = "15/9001/26230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9001/26230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9001 ÷ 215
    9001 ÷ 32768     		x = 0.274688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26230 ÷ 215
    26230 ÷ 32768     		y = 0.80047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.45062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41567252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80047607421875 × 2 - 1) × π
    -0.6009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88794685463629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41567252} λ = -1.41567252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88794685463629))-π/2
    2×atan(0.151382299852795)-π/2
    2×0.150241555200696-π/2
    0.300483110401392-1.57079632675     		φ = -1.27031322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41567252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.112061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27031322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.783586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9001 KachelY 26230 -1.41567252 -1.27031322 -81.112061 -72.783586
    Oben rechts KachelX + 1 9002 KachelY 26230 -1.41548077 -1.27031322 -81.101074 -72.783586
    Unten links KachelX 9001 KachelY + 1 26231 -1.41567252 -1.27036996 -81.112061 -72.786837
    Unten rechts KachelX + 1 9002 KachelY + 1 26231 -1.41548077 -1.27036996 -81.101074 -72.786837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27031322--1.27036996) × R
    5.67399999999996e-05 × 6371000     		dl = 361.490539999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27031322--1.27036996) × R
    5.67399999999996e-05 × 6371000     		dr = 361.490539999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41567252--1.41548077) × cos(-1.27031322) × R
    0.000191749999999935 × 0.295981701706645 × 6371000     		do = 361.582864086507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41567252--1.41548077) × cos(-1.27036996) × R
    0.000191749999999935 × 0.295927503544806 × 6371000     		du = 361.516653484727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27031322)-sin(-1.27036996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295981701706645-0.295927503544806)×R²
    abs(-1.41548077--1.41567252)×5.41981618383813e-05×R²
    0.000191749999999935×5.41981618383813e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.41981618383813e-05×40589641000000     		ar = 130696.817575694m²