Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 900 / 894
↖ ↑ ↗
← N 70.670881°
W100.898437°		 ← 3 234.80 m → N 70.670881°
W100.810547°		 →
↑
3 237.17 m
↓
↑
3 237.17 m
↓
N 70.641769°
W100.898437°		 ← 3 239.49 m →
10 479 178 m²		 N 70.641769°
W100.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2198486328125 y=0.2183837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2198486328125 × 212)
    floor (0.2198486328125 × 4096)
    floor (900.5)     		tx = 900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2183837890625 × 212)
    floor (0.2183837890625 × 4096)
    floor (894.5)     		ty = 894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 900 / 894 ti = "12/900/894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/900/894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 900 ÷ 212
    900 ÷ 4096     		x = 0.2197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 894 ÷ 212
    894 ÷ 4096     		y = 0.21826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2197265625 × 2 - 1) × π
    -0.560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76100994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21826171875 × 2 - 1) × π
    0.5634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77021382916943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76100994} λ = -1.76100994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77021382916943))-π/2
    2×atan(5.87210885530656)-π/2
    2×1.40211794336887-π/2
    2.80423588673773-1.57079632675     		φ = 1.23343956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76100994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23343956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.670881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 900 KachelY 894 -1.76100994 1.23343956 -100.898437 70.670881
    Oben rechts KachelX + 1 901 KachelY 894 -1.75947596 1.23343956 -100.810547 70.670881
    Unten links KachelX 900 KachelY + 1 895 -1.76100994 1.23293145 -100.898437 70.641769
    Unten rechts KachelX + 1 901 KachelY + 1 895 -1.75947596 1.23293145 -100.810547 70.641769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23343956-1.23293145) × R
    0.000508110000000173 × 6371000     		dl = 3237.1688100011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23343956-1.23293145) × R
    0.000508110000000173 × 6371000     		dr = 3237.1688100011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76100994--1.75947596) × cos(1.23343956) × R
    0.00153398000000005 × 0.330994009622915 × 6371000     		do = 3234.80001410524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76100994--1.75947596) × cos(1.23293145) × R
    0.00153398000000005 × 0.331473436165073 × 6371000     		du = 3239.48544326784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23343956)-sin(1.23293145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330994009622915-0.331473436165073)×R²
    abs(-1.75947596--1.76100994)×0.000479426542157213×R²
    0.00153398000000005×0.000479426542157213×6371000²
    0.00153398000000005×0.000479426542157213×40589641000000     		ar = 10479177.700282m²