Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8999 / 26233
↖ ↑ ↗
← S 72.793338°
W 81.134033°		 ← 361.37 m → S 72.793338°
W 81.123047°		 →
↑
361.36 m
↓
↑
361.36 m
↓
S 72.796588°
W 81.134033°		 ← 361.30 m →
130 572 m²		 S 72.796588°
W 81.123047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274642944335938 y=0.800582885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274642944335938 × 215)
    floor (0.274642944335938 × 32768)
    floor (8999.5)     		tx = 8999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800582885742188 × 215)
    floor (0.800582885742188 × 32768)
    floor (26233.5)     		ty = 26233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8999 / 26233 ti = "15/8999/26233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8999/26233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8999 ÷ 215
    8999 ÷ 32768     		x = 0.274627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26233 ÷ 215
    26233 ÷ 32768     		y = 0.800567626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.45074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41605601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800567626953125 × 2 - 1) × π
    -0.60113525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88852209743173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41605601} λ = -1.41605601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88852209743173))-π/2
    2×atan(0.151295243317171)-π/2
    2×0.150156447913389-π/2
    0.300312895826778-1.57079632675     		φ = -1.27048343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41605601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.134033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27048343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.793338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8999 KachelY 26233 -1.41605601 -1.27048343 -81.134033 -72.793338
    Oben rechts KachelX + 1 9000 KachelY 26233 -1.41586427 -1.27048343 -81.123047 -72.793338
    Unten links KachelX 8999 KachelY + 1 26234 -1.41605601 -1.27054015 -81.134033 -72.796588
    Unten rechts KachelX + 1 9000 KachelY + 1 26234 -1.41586427 -1.27054015 -81.123047 -72.796588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27048343--1.27054015) × R
    5.67199999998991e-05 × 6371000     		dl = 361.363119999357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27048343--1.27054015) × R
    5.67199999998991e-05 × 6371000     		dr = 361.363119999357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41605601--1.41586427) × cos(-1.27048343) × R
    0.000191739999999996 × 0.295819113915592 × 6371000     		do = 361.365393823753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41605601--1.41586427) × cos(-1.27054015) × R
    0.000191739999999996 × 0.295764932001509 × 6371000     		du = 361.299206522799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27048343)-sin(-1.27054015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295819113915592-0.295764932001509)×R²
    abs(-1.41586427--1.41605601)×5.4181914083351e-05×R²
    0.000191739999999996×5.4181914083351e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.4181914083351e-05×40589641000000     		ar = 130572.167382011m²