Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89987 / 24637
↖ ↑ ↗
← N 73.973353°
E 67.156677°		 ← 84.32 m → N 73.973353°
E 67.159424°		 →
↑
84.29 m
↓
↑
84.29 m
↓
N 73.972594°
E 67.156677°		 ← 84.33 m →
7 108 m²		 N 73.972594°
E 67.159424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686550140380859 y=0.187969207763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686550140380859 × 217)
    floor (0.686550140380859 × 131072)
    floor (89987.5)     		tx = 89987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187969207763672 × 217)
    floor (0.187969207763672 × 131072)
    floor (24637.5)     		ty = 24637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89987 / 24637 ti = "17/89987/24637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89987/24637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89987 ÷ 217
    89987 ÷ 131072     		x = 0.686546325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24637 ÷ 217
    24637 ÷ 131072     		y = 0.187965393066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686546325683594 × 2 - 1) × π
    0.373092651367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.17210513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187965393066406 × 2 - 1) × π
    0.624069213867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.96057125756068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17210513} λ = 1.17210513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96057125756068))-π/2
    2×atan(7.10338376801909)-π/2
    2×1.43093744473394-π/2
    2.86187488946787-1.57079632675     		φ = 1.29107856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17210513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.156677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29107856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.973353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89987 KachelY 24637 1.17210513 1.29107856 67.156677 73.973353
    Oben rechts KachelX + 1 89988 KachelY 24637 1.17215307 1.29107856 67.159424 73.973353
    Unten links KachelX 89987 KachelY + 1 24638 1.17210513 1.29106533 67.156677 73.972594
    Unten rechts KachelX + 1 89988 KachelY + 1 24638 1.17215307 1.29106533 67.159424 73.972594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29107856-1.29106533) × R
    1.32300000001973e-05 × 6371000     		dl = 84.2883300012567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29107856-1.29106533) × R
    1.32300000001973e-05 × 6371000     		dr = 84.2883300012567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17210513-1.17215307) × cos(1.29107856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276084395804443 × 6371000     		do = 84.3232808909697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17210513-1.17215307) × cos(1.29106533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.27609711157512 × 6371000     		du = 84.3271646146384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29107856)-sin(1.29106533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276084395804443-0.27609711157512)×R²
    abs(1.17215307-1.17210513)×1.27157706771852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27157706771852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27157706771852e-05×40589641000000     		ar = 7107.63220282363m²