Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89980 / 24548
↖ ↑ ↗
← N 74.040702°
E 67.137451°		 ← 83.98 m → N 74.040702°
E 67.140198°		 →
↑
83.97 m
↓
↑
83.97 m
↓
N 74.039947°
E 67.137451°		 ← 83.98 m →
7 052 m²		 N 74.039947°
E 67.140198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686496734619141 y=0.187290191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686496734619141 × 217)
    floor (0.686496734619141 × 131072)
    floor (89980.5)     		tx = 89980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187290191650391 × 217)
    floor (0.187290191650391 × 131072)
    floor (24548.5)     		ty = 24548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89980 / 24548 ti = "17/89980/24548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89980/24548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89980 ÷ 217
    89980 ÷ 131072     		x = 0.686492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24548 ÷ 217
    24548 ÷ 131072     		y = 0.187286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686492919921875 × 2 - 1) × π
    0.37298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17176957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187286376953125 × 2 - 1) × π
    0.62542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96483764162686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17176957} λ = 1.17176957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96483764162686))-π/2
    2×atan(7.13375427139174)-π/2
    2×1.43152517978009-π/2
    2.86305035956018-1.57079632675     		φ = 1.29225403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17176957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.137451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29225403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.040702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89980 KachelY 24548 1.17176957 1.29225403 67.137451 74.040702
    Oben rechts KachelX + 1 89981 KachelY 24548 1.17181751 1.29225403 67.140198 74.040702
    Unten links KachelX 89980 KachelY + 1 24549 1.17176957 1.29224085 67.137451 74.039947
    Unten rechts KachelX + 1 89981 KachelY + 1 24549 1.17181751 1.29224085 67.140198 74.039947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29225403-1.29224085) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dl = 83.9697800003634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29225403-1.29224085) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dr = 83.9697800003634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17176957-1.17181751) × cos(1.29225403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274954421853728 × 6371000     		do = 83.978157760892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17176957-1.17181751) × cos(1.29224085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274967093836554 × 6371000     		du = 83.982028110624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29225403)-sin(1.29224085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274954421853728-0.274967093836554)×R²
    abs(1.17181751-1.17176957)×1.26719828262289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26719828262289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26719828262289e-05×40589641000000     		ar = 7051.78992822512m²