Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8998 / 9445
↖ ↑ ↗
← S 26.529565°
E 17.709961°		 ← 2 185.95 m → S 26.529565°
E 17.731933°		 →
↑
2 185.83 m
↓
↑
2 185.83 m
↓
S 26.549223°
E 17.709961°		 ← 2 185.58 m →
4 777 707 m²		 S 26.549223°
E 17.731933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549224853515625 y=0.576507568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549224853515625 × 214)
    floor (0.549224853515625 × 16384)
    floor (8998.5)     		tx = 8998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576507568359375 × 214)
    floor (0.576507568359375 × 16384)
    floor (9445.5)     		ty = 9445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8998 / 9445 ti = "14/8998/9445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8998/9445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8998 ÷ 214
    8998 ÷ 16384     		x = 0.5491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9445 ÷ 214
    9445 ÷ 16384     		y = 0.57647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5491943359375 × 2 - 1) × π
    0.098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30909713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.1529541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.480519481791443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30909713} λ = 0.30909713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480519481791443))-π/2
    2×atan(0.61846202857965)-π/2
    2×0.553884032138391-π/2
    1.10776806427678-1.57079632675     		φ = -0.46302826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30909713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46302826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.529565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8998 KachelY 9445 0.30909713 -0.46302826 17.709961 -26.529565
    Oben rechts KachelX + 1 8999 KachelY 9445 0.30948062 -0.46302826 17.731933 -26.529565
    Unten links KachelX 8998 KachelY + 1 9446 0.30909713 -0.46337135 17.709961 -26.549223
    Unten rechts KachelX + 1 8999 KachelY + 1 9446 0.30948062 -0.46337135 17.731933 -26.549223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46302826--0.46337135) × R
    0.00034308999999999 × 6371000     		dl = 2185.82638999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46302826--0.46337135) × R
    0.00034308999999999 × 6371000     		dr = 2185.82638999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30909713-0.30948062) × cos(-0.46302826) × R
    0.000383489999999986 × 0.894704000727646 × 6371000     		do = 2185.95404724988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30909713-0.30948062) × cos(-0.46337135) × R
    0.000383489999999986 × 0.894550703648474 × 6371000     		du = 2185.57950955878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46302826)-sin(-0.46337135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894704000727646-0.894550703648474)×R²
    abs(0.30948062-0.30909713)×0.000153297079171777×R²
    0.000383489999999986×0.000153297079171777×6371000²
    0.000383489999999986×0.000153297079171777×40589641000000     		ar = 4777706.75348658m²