Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8998 / 26118
↖ ↑ ↗
← S 72.415631°
W 81.145019°		 ← 369.07 m → S 72.415631°
W 81.134033°		 →
↑
369.07 m
↓
↑
369.07 m
↓
S 72.418950°
W 81.145019°		 ← 369 m →
136 201 m²		 S 72.418950°
W 81.134033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274612426757812 y=0.797073364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274612426757812 × 215)
    floor (0.274612426757812 × 32768)
    floor (8998.5)     		tx = 8998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797073364257812 × 215)
    floor (0.797073364257812 × 32768)
    floor (26118.5)     		ty = 26118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8998 / 26118 ti = "15/8998/26118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8998/26118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8998 ÷ 215
    8998 ÷ 32768     		x = 0.27459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26118 ÷ 215
    26118 ÷ 32768     		y = 0.79705810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.4508056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41624776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.5941162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86647112360651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41624776} λ = -1.41624776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86647112360651))-π/2
    2×atan(0.154668505945374)-π/2
    2×0.153452567127679-π/2
    0.306905134255358-1.57079632675     		φ = -1.26389119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41624776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.145019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26389119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.415631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8998 KachelY 26118 -1.41624776 -1.26389119 -81.145019 -72.415631
    Oben rechts KachelX + 1 8999 KachelY 26118 -1.41605601 -1.26389119 -81.134033 -72.415631
    Unten links KachelX 8998 KachelY + 1 26119 -1.41624776 -1.26394912 -81.145019 -72.418950
    Unten rechts KachelX + 1 8999 KachelY + 1 26119 -1.41605601 -1.26394912 -81.134033 -72.418950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26389119--1.26394912) × R
    5.79299999998728e-05 × 6371000     		dl = 369.07202999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26389119--1.26394912) × R
    5.79299999998728e-05 × 6371000     		dr = 369.07202999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41624776--1.41605601) × cos(-1.26389119) × R
    0.000191750000000157 × 0.302109838072212 × 6371000     		do = 369.069236000461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41624776--1.41605601) × cos(-1.26394912) × R
    0.000191750000000157 × 0.302054614453344 × 6371000     		du = 369.001772660124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26389119)-sin(-1.26394912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302109838072212-0.302054614453344)×R²
    abs(-1.41605601--1.41624776)×5.52236188680055e-05×R²
    0.000191750000000157×5.52236188680055e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.52236188680055e-05×40589641000000     		ar = 136200.682763173m²