Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89977 / 24589
↖ ↑ ↗
← N 74.009710°
E 67.129211°		 ← 84.14 m → N 74.009710°
E 67.131958°		 →
↑
84.10 m
↓
↑
84.10 m
↓
N 74.008954°
E 67.129211°		 ← 84.14 m →
7 076 m²		 N 74.008954°
E 67.131958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686473846435547 y=0.187602996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686473846435547 × 217)
    floor (0.686473846435547 × 131072)
    floor (89977.5)     		tx = 89977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187602996826172 × 217)
    floor (0.187602996826172 × 131072)
    floor (24589.5)     		ty = 24589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89977 / 24589 ti = "17/89977/24589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89977/24589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89977 ÷ 217
    89977 ÷ 131072     		x = 0.686470031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24589 ÷ 217
    24589 ÷ 131072     		y = 0.187599182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686470031738281 × 2 - 1) × π
    0.372940063476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.17162576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187599182128906 × 2 - 1) × π
    0.624801635742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.96287222874244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17162576} λ = 1.17162576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96287222874244))-π/2
    2×atan(7.11974726811371)-π/2
    2×1.43125472486069-π/2
    2.86250944972138-1.57079632675     		φ = 1.29171312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17162576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.129211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29171312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.009710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89977 KachelY 24589 1.17162576 1.29171312 67.129211 74.009710
    Oben rechts KachelX + 1 89978 KachelY 24589 1.17167370 1.29171312 67.131958 74.009710
    Unten links KachelX 89977 KachelY + 1 24590 1.17162576 1.29169992 67.129211 74.008954
    Unten rechts KachelX + 1 89978 KachelY + 1 24590 1.17167370 1.29169992 67.131958 74.008954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29171312-1.29169992) × R
    1.32000000001575e-05 × 6371000     		dl = 84.0972000010036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29171312-1.29169992) × R
    1.32000000001575e-05 × 6371000     		dr = 84.0972000010036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17162576-1.17167370) × cos(1.29171312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275474443452165 × 6371000     		do = 84.1369857424106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17162576-1.17167370) × cos(1.29169992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275487132698985 × 6371000     		du = 84.1408613650104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29171312)-sin(1.29169992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275474443452165-0.275487132698985)×R²
    abs(1.17167370-1.17162576)×1.26892468192974e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26892468192974e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26892468192974e-05×40589641000000     		ar = 7075.84788199839m²