Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89974 / 24602
↖ ↑ ↗
← N 73.999871°
E 67.120972°		 ← 84.19 m → N 73.999871°
E 67.123718°		 →
↑
84.16 m
↓
↑
84.16 m
↓
N 73.999114°
E 67.120972°		 ← 84.19 m →
7 085 m²		 N 73.999114°
E 67.123718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686450958251953 y=0.187702178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686450958251953 × 217)
    floor (0.686450958251953 × 131072)
    floor (89974.5)     		tx = 89974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187702178955078 × 217)
    floor (0.187702178955078 × 131072)
    floor (24602.5)     		ty = 24602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89974 / 24602 ti = "17/89974/24602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89974/24602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89974 ÷ 217
    89974 ÷ 131072     		x = 0.686447143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24602 ÷ 217
    24602 ÷ 131072     		y = 0.187698364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686447143554688 × 2 - 1) × π
    0.372894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17148195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187698364257812 × 2 - 1) × π
    0.624603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96224904904738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17148195} λ = 1.17148195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96224904904738))-π/2
    2×atan(7.11531176838249)-π/2
    2×1.43116886410651-π/2
    2.86233772821303-1.57079632675     		φ = 1.29154140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17148195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.120972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29154140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.999871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89974 KachelY 24602 1.17148195 1.29154140 67.120972 73.999871
    Oben rechts KachelX + 1 89975 KachelY 24602 1.17152989 1.29154140 67.123718 73.999871
    Unten links KachelX 89974 KachelY + 1 24603 1.17148195 1.29152819 67.120972 73.999114
    Unten rechts KachelX + 1 89975 KachelY + 1 24603 1.17152989 1.29152819 67.123718 73.999114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29154140-1.29152819) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dl = 84.1609100006164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29154140-1.29152819) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dr = 84.1609100006164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17148195-1.17152989) × cos(1.29154140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275639515267445 × 6371000     		do = 84.1874029237454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17148195-1.17152989) × cos(1.29152819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275652213502218 × 6371000     		du = 84.1912812914977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29154140)-sin(1.29152819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275639515267445-0.275652213502218)×R²
    abs(1.17152989-1.17148195)×1.2698234773123e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2698234773123e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2698234773123e-05×40589641000000     		ar = 7085.45164419371m²