Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89973 / 24545
↖ ↑ ↗
← N 74.042967°
E 67.118225°		 ← 83.95 m → N 74.042967°
E 67.120972°		 →
↑
83.97 m
↓
↑
83.97 m
↓
N 74.042212°
E 67.118225°		 ← 83.95 m →
7 049 m²		 N 74.042212°
E 67.120972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686443328857422 y=0.187267303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686443328857422 × 217)
    floor (0.686443328857422 × 131072)
    floor (89973.5)     		tx = 89973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187267303466797 × 217)
    floor (0.187267303466797 × 131072)
    floor (24545.5)     		ty = 24545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89973 / 24545 ti = "17/89973/24545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89973/24545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89973 ÷ 217
    89973 ÷ 131072     		x = 0.686439514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24545 ÷ 217
    24545 ÷ 131072     		y = 0.187263488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686439514160156 × 2 - 1) × π
    0.372879028320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.17143402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187263488769531 × 2 - 1) × π
    0.625473022460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.96498145232572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17143402} λ = 1.17143402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96498145232572))-π/2
    2×atan(7.13478025535097)-π/2
    2×1.43154494910691-π/2
    2.86308989821382-1.57079632675     		φ = 1.29229357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17143402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.118225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29229357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.042967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89973 KachelY 24545 1.17143402 1.29229357 67.118225 74.042967
    Oben rechts KachelX + 1 89974 KachelY 24545 1.17148195 1.29229357 67.120972 74.042967
    Unten links KachelX 89973 KachelY + 1 24546 1.17143402 1.29228039 67.118225 74.042212
    Unten rechts KachelX + 1 89974 KachelY + 1 24546 1.17148195 1.29228039 67.120972 74.042212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29229357-1.29228039) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dl = 83.9697800003634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29229357-1.29228039) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dr = 83.9697800003634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17143402-1.17148195) × cos(1.29229357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.274916405618681 × 6371000     		do = 83.9490317000751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17143402-1.17148195) × cos(1.29228039) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.274929077744789 × 6371000     		du = 83.952901286228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29229357)-sin(1.29228039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274916405618681-0.274929077744789)×R²
    abs(1.17148195-1.17143402)×1.26721261085594e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.26721261085594e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.26721261085594e-05×40589641000000     		ar = 7049.34418735778m²