Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8997 / 9443
↖ ↑ ↗
← S 26.490241°
E 17.687988°		 ← 2 186.76 m → S 26.490241°
E 17.709961°		 →
↑
2 186.53 m
↓
↑
2 186.53 m
↓
S 26.509905°
E 17.687988°		 ← 2 186.39 m →
4 781 000 m²		 S 26.509905°
E 17.709961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549163818359375 y=0.576385498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549163818359375 × 214)
    floor (0.549163818359375 × 16384)
    floor (8997.5)     		tx = 8997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576385498046875 × 214)
    floor (0.576385498046875 × 16384)
    floor (9443.5)     		ty = 9443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8997 / 9443 ti = "14/8997/9443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8997/9443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8997 ÷ 214
    8997 ÷ 16384     		x = 0.54913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9443 ÷ 214
    9443 ÷ 16384     		y = 0.57635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54913330078125 × 2 - 1) × π
    0.0982666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30871363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.1527099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.479752491397522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30871363} λ = 0.30871363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479752491397522))-π/2
    2×atan(0.61893656497374)-π/2
    2×0.554227205577441-π/2
    1.10845441115488-1.57079632675     		φ = -0.46234192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30871363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.687988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46234192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.490241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8997 KachelY 9443 0.30871363 -0.46234192 17.687988 -26.490241
    Oben rechts KachelX + 1 8998 KachelY 9443 0.30909713 -0.46234192 17.709961 -26.490241
    Unten links KachelX 8997 KachelY + 1 9444 0.30871363 -0.46268512 17.687988 -26.509905
    Unten rechts KachelX + 1 8998 KachelY + 1 9444 0.30909713 -0.46268512 17.709961 -26.509905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46234192--0.46268512) × R
    0.000343199999999988 × 6371000     		dl = 2186.52719999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46234192--0.46268512) × R
    0.000343199999999988 × 6371000     		dr = 2186.52719999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30871363-0.30909713) × cos(-0.46234192) × R
    0.000383499999999981 × 0.895010350286399 × 6371000     		do = 2186.75954613212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30871363-0.30909713) × cos(-0.46268512) × R
    0.000383499999999981 × 0.894857214808168 × 6371000     		du = 2186.38539351057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46234192)-sin(-0.46268512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895010350286399-0.894857214808168)×R²
    abs(0.30909713-0.30871363)×0.000153135478231037×R²
    0.000383499999999981×0.000153135478231037×6371000²
    0.000383499999999981×0.000153135478231037×40589641000000     		ar = 4781000.22696314m²