Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8997 / 26115
↖ ↑ ↗
← S 72.405671°
W 81.156006°		 ← 369.27 m → S 72.405671°
W 81.145019°		 →
↑
369.20 m
↓
↑
369.20 m
↓
S 72.408992°
W 81.156006°		 ← 369.20 m →
136 322 m²		 S 72.408992°
W 81.145019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274581909179688 y=0.796981811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274581909179688 × 215)
    floor (0.274581909179688 × 32768)
    floor (8997.5)     		tx = 8997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796981811523438 × 215)
    floor (0.796981811523438 × 32768)
    floor (26115.5)     		ty = 26115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8997 / 26115 ti = "15/8997/26115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8997/26115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8997 ÷ 215
    8997 ÷ 32768     		x = 0.274566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26115 ÷ 215
    26115 ÷ 32768     		y = 0.796966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.45086669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41643951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.59393310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86589588081107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41643951} λ = -1.41643951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86589588081107))-π/2
    2×atan(0.154757503484243)-π/2
    2×0.153539484209336-π/2
    0.307078968418672-1.57079632675     		φ = -1.26371736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41643951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.156006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26371736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.405671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8997 KachelY 26115 -1.41643951 -1.26371736 -81.156006 -72.405671
    Oben rechts KachelX + 1 8998 KachelY 26115 -1.41624776 -1.26371736 -81.145019 -72.405671
    Unten links KachelX 8997 KachelY + 1 26116 -1.41643951 -1.26377531 -81.156006 -72.408992
    Unten rechts KachelX + 1 8998 KachelY + 1 26116 -1.41624776 -1.26377531 -81.145019 -72.408992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26371736--1.26377531) × R
    5.79499999999733e-05 × 6371000     		dl = 369.19944999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26371736--1.26377531) × R
    5.79499999999733e-05 × 6371000     		dr = 369.19944999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41643951--1.41624776) × cos(-1.26371736) × R
    0.000191749999999935 × 0.302275540973824 × 6371000     		do = 369.271665168481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41643951--1.41624776) × cos(-1.26377531) × R
    0.000191749999999935 × 0.302220301332987 × 6371000     		du = 369.20418225508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26371736)-sin(-1.26377531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302275540973824-0.302220301332987)×R²
    abs(-1.41624776--1.41643951)×5.52396408363132e-05×R²
    0.000191749999999935×5.52396408363132e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.52396408363132e-05×40589641000000     		ar = 136322.43839175m²