Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89969 / 24590
↖ ↑ ↗
← N 74.008954°
E 67.107239°		 ← 84.14 m → N 74.008954°
E 67.109986°		 →
↑
84.16 m
↓
↑
84.16 m
↓
N 74.008197°
E 67.107239°		 ← 84.14 m →
7 082 m²		 N 74.008197°
E 67.109986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686412811279297 y=0.187610626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686412811279297 × 217)
    floor (0.686412811279297 × 131072)
    floor (89969.5)     		tx = 89969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187610626220703 × 217)
    floor (0.187610626220703 × 131072)
    floor (24590.5)     		ty = 24590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89969 / 24590 ti = "17/89969/24590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89969/24590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89969 ÷ 217
    89969 ÷ 131072     		x = 0.686408996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24590 ÷ 217
    24590 ÷ 131072     		y = 0.187606811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686408996582031 × 2 - 1) × π
    0.372817993164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.17124227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187606811523438 × 2 - 1) × π
    0.624786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96282429184282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17124227} λ = 1.17124227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96282429184282))-π/2
    2×atan(7.11940597768386)-π/2
    2×1.43124812201325-π/2
    2.8624962440265-1.57079632675     		φ = 1.29169992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17124227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.107239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29169992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.008954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89969 KachelY 24590 1.17124227 1.29169992 67.107239 74.008954
    Oben rechts KachelX + 1 89970 KachelY 24590 1.17129021 1.29169992 67.109986 74.008954
    Unten links KachelX 89969 KachelY + 1 24591 1.17124227 1.29168671 67.107239 74.008197
    Unten rechts KachelX + 1 89970 KachelY + 1 24591 1.17129021 1.29168671 67.109986 74.008197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29169992-1.29168671) × R
    1.32099999998747e-05 × 6371000     		dl = 84.1609099992018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29169992-1.29168671) × R
    1.32099999998747e-05 × 6371000     		dr = 84.1609099992018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17124227-1.17129021) × cos(1.29169992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275487132698985 × 6371000     		do = 84.1408613650104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17124227-1.17129021) × cos(1.29168671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275499831510814 × 6371000     		du = 84.1447399090105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29169992)-sin(1.29168671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275487132698985-0.275499831510814)×R²
    abs(1.17129021-1.17124227)×1.26988118293592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26988118293592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26988118293592e-05×40589641000000     		ar = 7081.53467170552m²