Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89969 / 24555
↖ ↑ ↗
← N 74.035415°
E 67.107239°		 ← 84.01 m → N 74.035415°
E 67.109986°		 →
↑
83.97 m
↓
↑
83.97 m
↓
N 74.034660°
E 67.107239°		 ← 84.01 m →
7 054 m²		 N 74.034660°
E 67.109986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686412811279297 y=0.187343597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686412811279297 × 217)
    floor (0.686412811279297 × 131072)
    floor (89969.5)     		tx = 89969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187343597412109 × 217)
    floor (0.187343597412109 × 131072)
    floor (24555.5)     		ty = 24555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89969 / 24555 ti = "17/89969/24555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89969/24555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89969 ÷ 217
    89969 ÷ 131072     		x = 0.686408996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24555 ÷ 217
    24555 ÷ 131072     		y = 0.187339782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686408996582031 × 2 - 1) × π
    0.372817993164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.17124227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187339782714844 × 2 - 1) × π
    0.625320434570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.96450208332952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17124227} λ = 1.17124227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96450208332952))-π/2
    2×atan(7.13136088253799)-π/2
    2×1.43147904071937-π/2
    2.86295808143874-1.57079632675     		φ = 1.29216175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17124227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.107239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29216175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.035415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89969 KachelY 24555 1.17124227 1.29216175 67.107239 74.035415
    Oben rechts KachelX + 1 89970 KachelY 24555 1.17129021 1.29216175 67.109986 74.035415
    Unten links KachelX 89969 KachelY + 1 24556 1.17124227 1.29214857 67.107239 74.034660
    Unten rechts KachelX + 1 89970 KachelY + 1 24556 1.17129021 1.29214857 67.109986 74.034660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29216175-1.29214857) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dl = 83.9697800003634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29216175-1.29214857) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dr = 83.9697800003634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17124227-1.17129021) × cos(1.29216175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275043143959003 × 6371000     		do = 84.0052557755499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17124227-1.17129021) × cos(1.29214857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275055815607354 × 6371000     		du = 84.0091260231246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29216175)-sin(1.29214857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275043143959003-0.275055815607354)×R²
    abs(1.17129021-1.17124227)×1.26716483511147e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26716483511147e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26716483511147e-05×40589641000000     		ar = 7054.0653383138m²