Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89968 / 24542
↖ ↑ ↗
← N 74.045232°
E 67.104492°		 ← 83.95 m → N 74.045232°
E 67.107239°		 →
↑
83.91 m
↓
↑
83.91 m
↓
N 74.044478°
E 67.104492°		 ← 83.96 m →
7 044 m²		 N 74.044478°
E 67.107239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686405181884766 y=0.187244415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686405181884766 × 217)
    floor (0.686405181884766 × 131072)
    floor (89968.5)     		tx = 89968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187244415283203 × 217)
    floor (0.187244415283203 × 131072)
    floor (24542.5)     		ty = 24542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89968 / 24542 ti = "17/89968/24542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89968/24542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89968 ÷ 217
    89968 ÷ 131072     		x = 0.6864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24542 ÷ 217
    24542 ÷ 131072     		y = 0.187240600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6864013671875 × 2 - 1) × π
    0.372802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17119433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187240600585938 × 2 - 1) × π
    0.625518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96512526302458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17119433} λ = 1.17119433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96512526302458))-π/2
    2×atan(7.13580638686828)-π/2
    2×1.43156471570043-π/2
    2.86312943140086-1.57079632675     		φ = 1.29233310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17119433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29233310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.045232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89968 KachelY 24542 1.17119433 1.29233310 67.104492 74.045232
    Oben rechts KachelX + 1 89969 KachelY 24542 1.17124227 1.29233310 67.107239 74.045232
    Unten links KachelX 89968 KachelY + 1 24543 1.17119433 1.29231993 67.104492 74.044478
    Unten rechts KachelX + 1 89969 KachelY + 1 24543 1.17124227 1.29231993 67.107239 74.044478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29233310-1.29231993) × R
    1.31700000001178e-05 × 6371000     		dl = 83.9060700007506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29233310-1.29231993) × R
    1.31700000001178e-05 × 6371000     		dr = 83.9060700007506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17119433-1.17124227) × cos(1.29233310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274878398568616 × 6371000     		do = 83.9549382927793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17119433-1.17124227) × cos(1.29231993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274891061223197 × 6371000     		du = 83.9588057934251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29233310)-sin(1.29231993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274878398568616-0.274891061223197)×R²
    abs(1.17124227-1.17119433)×1.26626545811637e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26626545811637e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26626545811637e-05×40589641000000     		ar = 7044.49118259091m²