Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89967 / 24553
↖ ↑ ↗
← N 74.036926°
E 67.101745°		 ← 84 m → N 74.036926°
E 67.104492°		 →
↑
83.97 m
↓
↑
83.97 m
↓
N 74.036170°
E 67.101745°		 ← 84 m →
7 053 m²		 N 74.036170°
E 67.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686397552490234 y=0.187328338623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686397552490234 × 217)
    floor (0.686397552490234 × 131072)
    floor (89967.5)     		tx = 89967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187328338623047 × 217)
    floor (0.187328338623047 × 131072)
    floor (24553.5)     		ty = 24553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89967 / 24553 ti = "17/89967/24553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89967/24553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89967 ÷ 217
    89967 ÷ 131072     		x = 0.686393737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24553 ÷ 217
    24553 ÷ 131072     		y = 0.187324523925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686393737792969 × 2 - 1) × π
    0.372787475585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.17114639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187324523925781 × 2 - 1) × π
    0.625350952148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.96459795712876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17114639} λ = 1.17114639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96459795712876))-π/2
    2×atan(7.13204462597556)-π/2
    2×1.4314922248271-π/2
    2.8629844496542-1.57079632675     		φ = 1.29218812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17114639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.101745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29218812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.036926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89967 KachelY 24553 1.17114639 1.29218812 67.101745 74.036926
    Oben rechts KachelX + 1 89968 KachelY 24553 1.17119433 1.29218812 67.104492 74.036926
    Unten links KachelX 89967 KachelY + 1 24554 1.17114639 1.29217494 67.101745 74.036170
    Unten rechts KachelX + 1 89968 KachelY + 1 24554 1.17119433 1.29217494 67.104492 74.036170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29218812-1.29217494) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dl = 83.9697800003634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29218812-1.29217494) × R
    1.3180000000057e-05 × 6371000     		dr = 83.9697800003634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17114639-1.17119433) × cos(1.29218812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275017790904576 × 6371000     		do = 83.9975123001405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17114639-1.17119433) × cos(1.29217494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275030462648518 × 6371000     		du = 84.001382576911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29218812)-sin(1.29217494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275017790904576-0.275030462648518)×R²
    abs(1.17119433-1.17114639)×1.26717439419832e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26717439419832e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26717439419832e-05×40589641000000     		ar = 7053.41512167707m²