Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89964 / 24594
↖ ↑ ↗
← N 74.005927°
E 67.093506°		 ← 84.16 m → N 74.005927°
E 67.096252°		 →
↑
84.16 m
↓
↑
84.16 m
↓
N 74.005170°
E 67.093506°		 ← 84.16 m →
7 083 m²		 N 74.005170°
E 67.096252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686374664306641 y=0.187641143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686374664306641 × 217)
    floor (0.686374664306641 × 131072)
    floor (89964.5)     		tx = 89964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187641143798828 × 217)
    floor (0.187641143798828 × 131072)
    floor (24594.5)     		ty = 24594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89964 / 24594 ti = "17/89964/24594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89964/24594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89964 ÷ 217
    89964 ÷ 131072     		x = 0.686370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24594 ÷ 217
    24594 ÷ 131072     		y = 0.187637329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686370849609375 × 2 - 1) × π
    0.37274169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17100258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187637329101562 × 2 - 1) × π
    0.624725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96263254424434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17100258} λ = 1.17100258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96263254424434))-π/2
    2×atan(7.11804097955678)-π/2
    2×1.43122170758057-π/2
    2.86244341516114-1.57079632675     		φ = 1.29164709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17100258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.093506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29164709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.005927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89964 KachelY 24594 1.17100258 1.29164709 67.093506 74.005927
    Oben rechts KachelX + 1 89965 KachelY 24594 1.17105052 1.29164709 67.096252 74.005927
    Unten links KachelX 89964 KachelY + 1 24595 1.17100258 1.29163388 67.093506 74.005170
    Unten rechts KachelX + 1 89965 KachelY + 1 24595 1.17105052 1.29163388 67.096252 74.005170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29164709-1.29163388) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dl = 84.1609100006164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29164709-1.29163388) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dr = 84.1609100006164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17100258-1.17105052) × cos(1.29164709) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.275537918044936 × 6371000     		do = 84.1563725172687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17100258-1.17105052) × cos(1.29163388) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.275550616664486 × 6371000     		du = 84.1602510025415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29164709)-sin(1.29163388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275537918044936-0.275550616664486)×R²
    abs(1.17105052-1.17100258)×1.26986195492784e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.26986195492784e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.26986195492784e-05×40589641000000     		ar = 7082.8401018939m²