Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89963 / 24597
↖ ↑ ↗
← N 74.003656°
E 67.090759°		 ← 84.15 m → N 74.003656°
E 67.093506°		 →
↑
84.16 m
↓
↑
84.16 m
↓
N 74.002899°
E 67.090759°		 ← 84.15 m →
7 082 m²		 N 74.002899°
E 67.093506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686367034912109 y=0.187664031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686367034912109 × 217)
    floor (0.686367034912109 × 131072)
    floor (89963.5)     		tx = 89963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187664031982422 × 217)
    floor (0.187664031982422 × 131072)
    floor (24597.5)     		ty = 24597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89963 / 24597 ti = "17/89963/24597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89963/24597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89963 ÷ 217
    89963 ÷ 131072     		x = 0.686363220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24597 ÷ 217
    24597 ÷ 131072     		y = 0.187660217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686363220214844 × 2 - 1) × π
    0.372726440429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.17095465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187660217285156 × 2 - 1) × π
    0.624679565429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.96248873354548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17095465} λ = 1.17095465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96248873354548))-π/2
    2×atan(7.11701740271141)-π/2
    2×1.43120189356063-π/2
    2.86240378712127-1.57079632675     		φ = 1.29160746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17095465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.090759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29160746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.003656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89963 KachelY 24597 1.17095465 1.29160746 67.090759 74.003656
    Oben rechts KachelX + 1 89964 KachelY 24597 1.17100258 1.29160746 67.093506 74.003656
    Unten links KachelX 89963 KachelY + 1 24598 1.17095465 1.29159425 67.090759 74.002899
    Unten rechts KachelX + 1 89964 KachelY + 1 24598 1.17100258 1.29159425 67.093506 74.002899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29160746-1.29159425) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dl = 84.1609100006164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29160746-1.29159425) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dr = 84.1609100006164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17095465-1.17100258) × cos(1.29160746) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.275576013759328 × 6371000     		do = 84.1504509805179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17095465-1.17100258) × cos(1.29159425) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.275588712234616 × 6371000     		du = 84.1543286127099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29160746)-sin(1.29159425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275576013759328-0.275588712234616)×R²
    abs(1.17100258-1.17095465)×1.26984752885084e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.26984752885084e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.26984752885084e-05×40589641000000     		ar = 7082.34170409891m²