Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89962 / 24614
↖ ↑ ↗
← N 73.990784°
E 67.088013°		 ← 84.23 m → N 73.990784°
E 67.090759°		 →
↑
84.22 m
↓
↑
84.22 m
↓
N 73.990027°
E 67.088013°		 ← 84.24 m →
7 095 m²		 N 73.990027°
E 67.090759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686359405517578 y=0.187793731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686359405517578 × 217)
    floor (0.686359405517578 × 131072)
    floor (89962.5)     		tx = 89962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187793731689453 × 217)
    floor (0.187793731689453 × 131072)
    floor (24614.5)     		ty = 24614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89962 / 24614 ti = "17/89962/24614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89962/24614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89962 ÷ 217
    89962 ÷ 131072     		x = 0.686355590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24614 ÷ 217
    24614 ÷ 131072     		y = 0.187789916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686355590820312 × 2 - 1) × π
    0.372711181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17090671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187789916992188 × 2 - 1) × π
    0.624420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96167380625194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17090671} λ = 1.17090671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96167380625194))-π/2
    2×atan(7.11121991356825)-π/2
    2×1.43108956236132-π/2
    2.86217912472265-1.57079632675     		φ = 1.29138280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17090671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.088013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29138280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.990784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89962 KachelY 24614 1.17090671 1.29138280 67.088013 73.990784
    Oben rechts KachelX + 1 89963 KachelY 24614 1.17095465 1.29138280 67.090759 73.990784
    Unten links KachelX 89962 KachelY + 1 24615 1.17090671 1.29136958 67.088013 73.990027
    Unten rechts KachelX + 1 89963 KachelY + 1 24615 1.17095465 1.29136958 67.090759 73.990027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29138280-1.29136958) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dl = 84.2246200002292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29138280-1.29136958) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dr = 84.2246200002292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17090671-1.17095465) × cos(1.29138280) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.275791967806861 × 6371000     		do = 84.2339658538017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17090671-1.17095465) × cos(1.29136958) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.275804675076104 × 6371000     		du = 84.2378469809136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29138280)-sin(1.29136958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275791967806861-0.275804675076104)×R²
    abs(1.17095465-1.17090671)×1.27072692431285e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.27072692431285e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.27072692431285e-05×40589641000000     		ar = 7094.73720851278m²