Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8996 / 26114
↖ ↑ ↗
← S 72.402350°
W 81.166992°		 ← 369.34 m → S 72.402350°
W 81.156006°		 →
↑
369.33 m
↓
↑
369.33 m
↓
S 72.405671°
W 81.166992°		 ← 369.27 m →
136 394 m²		 S 72.405671°
W 81.156006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274551391601562 y=0.796951293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274551391601562 × 215)
    floor (0.274551391601562 × 32768)
    floor (8996.5)     		tx = 8996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796951293945312 × 215)
    floor (0.796951293945312 × 32768)
    floor (26114.5)     		ty = 26114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8996 / 26114 ti = "15/8996/26114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8996/26114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8996 ÷ 215
    8996 ÷ 32768     		x = 0.2745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26114 ÷ 215
    26114 ÷ 32768     		y = 0.79693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41663126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.5938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86570413321259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41663126} λ = -1.41663126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86570413321259))-π/2
    2×atan(0.15478718070906)-π/2
    2×0.153568467162638-π/2
    0.307136934325275-1.57079632675     		φ = -1.26365939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41663126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.166992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26365939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.402350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8996 KachelY 26114 -1.41663126 -1.26365939 -81.166992 -72.402350
    Oben rechts KachelX + 1 8997 KachelY 26114 -1.41643951 -1.26365939 -81.156006 -72.402350
    Unten links KachelX 8996 KachelY + 1 26115 -1.41663126 -1.26371736 -81.166992 -72.405671
    Unten rechts KachelX + 1 8997 KachelY + 1 26115 -1.41643951 -1.26371736 -81.156006 -72.405671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26365939--1.26371736) × R
    5.79700000000738e-05 × 6371000     		dl = 369.32687000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26365939--1.26371736) × R
    5.79700000000738e-05 × 6371000     		dr = 369.32687000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41663126--1.41643951) × cos(-1.26365939) × R
    0.000191749999999935 × 0.302330798663619 × 6371000     		do = 369.339170131199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41663126--1.41643951) × cos(-1.26371736) × R
    0.000191749999999935 × 0.302275540973824 × 6371000     		du = 369.271665168481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26365939)-sin(-1.26371736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302330798663619-0.302275540973824)×R²
    abs(-1.41643951--1.41663126)×5.52576897953072e-05×R²
    0.000191749999999935×5.52576897953072e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.52576897953072e-05×40589641000000     		ar = 136394.414012289m²